Реферат на тему:


Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск






Загрузка...
Развитие аналитической механики

Развитие аналитической механики

План

1. Принцип Гамильтона

2. К. Г. Якоби

3. М.В.Остроградский

4. Немеханическое трактовки принципа наименьшего действия Гельмгольца

5. Принцип наименьшего принуждения Гаусса

6. "Механика без силы" Герца

Принцип Гамильтона

Руководствуясь идеей оптико-механической аналогии, видя ее прежде всего в единой математической форме законов движения лучей и материальных частиц, Уильям Роуан Гамильтон (1805 1865) использует в механике принцип наименьшего действия, применяя его для исследования конкретных явлений. Гамильтон исходил из того, что при истинного движения тел величина, равная произведению энергии на время и называется у него "действием", должна иметь какое-то минимальное значение. Чуть позже Гамильтона и независимо от него принцип наименьшего действия развивает М.В.Остроградский, который распространил его на более широкий круг явлений. Этот принцип справедливо называется принципом Гамильтона Острофадського. Он стал мощной математической оружием физики и широко используется в работах Максвелла, Гельмгольца, Условие, Эйнштейна, де Бройля, Шредингера и других ученых.

Перейдя к механике, Гамильтон показал значение своего нового вариационного принципа, а его характеристическая функция для задач механики ( «функция Гамильтона") оказалась тождественной энергии механической системы. Зная, как выражается функция Н через координаты и импульсы материальных точек, составляющих систему, можно сразу составить дифференциальные уравнения, определяющие координаты и импульс. Полученная система дифференциальных уравнений ( "канонические уравнения») равносильна системе уравнений движения, в частности системе уравнений Лагранжа второго рода, но имеет особые свойства, облегчающие ее исследования.

Наконец, Гамильтон связал свою каноническую систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим дифференциальным уравнением для частных производных, которое, как зьясувАлос, удовлетворяет его характеристическая функция Н. Возникла большая теория, благодаря которой была создана новая удобную форму уравнений движения, новый подход к проблеме их решения (интегрирования). Она осветила более полно и глубоко аналогии между механикой и оптикой, обнаружила новые возможности геометрической интерпретации, наконец, она привела к установлению связи между волновыми и корпускулярными представлениями но последнее достаточно полно оказалось лишь через века.

Необходимо отметить, что описанную выше теорию Гамильтон еще не смог сформулировать в общем и законченном виде. Обобщение результатов и методов Гамильтона, устранения излишних ограничений, тщательная разработка математических методов является заслугой К. Г. Якоби и М. В. Остроградского.

К. Г. Якоби

Карл Густав Якоби (1804-1851) один из самых известных немецких математиков и механиков первой половины XIX в. Основная работа Якоби по механике его замечательные "Лекции по динамике». Эти лекции представляют собой развитие классической аналитической механики Лагранжа и содержат много новых идей как по математике (теория дифференциальных уравнений в частных производных, вычисления геодезических линий на эллипсоиде), так и по механике.

Исходным моментом исследований Якоби по механике является принцип Гамильтона-Остроградского. В своих "Лекциях" Якоби развил теорию канонических уравнений Гамильтона, существенно расширив класс механических систем, к которым она применялась. Важнейший результат К. Якоби его теорема о том, что канонические уравнения являются уравнениями характеристик определенного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, то есть интегральные поверхности указанного уравнения в частных производных состоят из интегральных кривых системы канонических уравнений, определяющих движение механической системы. Тем самым интегрирования канонических уравнений сводится к определению полного интеграла уравнений в частных производных.

М. В. Остроградский обобщил метод Гамильтона-Якоби.

М. В. Остроградский

Михаилу Васильевичу Остроградскому (1801 1861) принадлежат первоклассные исследования из методов интегрирования уравнений аналитической механики и разработки обобщенных принципов статики и динамики. Наиболее известные исследования Петроградского касаются обобщения основных принципов и методов механики.

Он внес существенный вклад в развитие вариационных принципов, как частный случай включают и динамику. Остроградский, рассматривая вариационную задачу, в которой подынтегральная функция зависит от произвольного количества неизвестных функций и их производных сколь угодно высокого порядка, доказывает, что задача сводится к интегрированию канонических уравнений Гамильтона, которые можно рассматривать как форму, в которую можно превратить любые уравнения , возникающих в вариационной задачи. Он также показал, что и в более общем случае, когда связи силовая функция содержат время, уравнения движения также могут быть преобразованы в форму Гамильтона. Работы Остроградского по механике стали источником для дальнейших исследований с целью выяснения оснований вариационных принципов механики.

В 1866 г.. Остроградский выразил сомнение в справедливости принципа наименьшего действия Лагранжа. Основные возражения Остроградского сводятся к тому, что для Эйлера и Лагранжа принцип наименьшего действия и простейшая задача вариационного исчисления представляли собой одну и ту же математическую проблему. Остроградский же замечает, что в принципе наименьшего действия переменные связаны законом живых сил и поэтому не являются независимыми, в отличие от переменных обычной вариационной задачи. Отсюда следует также, что вариации переменных подчиняются определенному условию не могут быть совсем произвольными. Поэтому Остроградский считает формулировку принципа в Лагранжа и его выводы ошибочными и дает собственно формулировку: в случае консервативной системы истинная траектория движения между двумя точками имеет такое свойство, что преобразования уравнений движения приводит к условию:

где U потенциальная функция

Т кинетическая энергия системы.

И, наоборот, с минимальности интеграла можно получить уравнения движения.

Принцип Остроградского, таким образом, отличается от принципа наименьшего действия Лагранжа, в котором экстремума достигает.

Вопрос о справедливости принципов Лагранжа и Гамильтон Остроградского вызвало оживленное обсуждение в математической литературе. М. И. Талызин (1819-1869) и Ф. А. Слудский (1841-1891) показали, что оба принципа Лагранжа и Остроградского одинаково справедливы: "Выражение начале наименьшего действия, которые дали эти ученые, суть выражение двух различных общих свойств движения".

Немеханическое трактовки принципа наименьшего действия Гельмгольца

Переход от собственно механической интерпретации принципа Гамильтона к более общему его понимание, которое готовило почву для неклассической концепции, происходил в основном стихийно. Гельмгольц, который трактовал принцип наименьшего действия в исключительно механическом смысле, с 1886 г.. Систематически применял этот принцип к проблемам механики, термодинамики и электродинамики. Он ввел понятие кинетического потенциала, способствовало обобщению физической интерпретации принципа. Кинетический потенциал это величина, с которой можно получить действие путем интегрирования по времени. Эта величина фигурировала в различных разделах физики без какой-либо механической интерпретации. В трудах Гельмгольца кинетический потенциал трактовался не как производная величина разница между кинетической и потенциальной энергией, а как исходная величина. Это было важным шагом для перехода к немеханического понимание принципа наименьшего действия, потому что кинетический потенциал может отличаться от механического понятие разности T U. Вне механикой, где различия между кинетической и потенциальной энергией теряет непосредственный смысл, кинетический потенциал нельзя получить аналогичным способом, если энергия является заданной величиной. Поэтому самостоятельный характер понятия кинетического потенциала позволяет сделать принцип наименьшего действия универсальным принципом физики обратных процессов, Не сводя ее законы с законами механики; другими словами, это позволяет трактовать указанный принцип уже не как механический.

Принцип наименьшего принуждения Гаусса

В 1829 в статье "О новом общее начало механики" Гаусс выдвинул как наиболее общее начало утверждение: система со связями, без трения, испытывая действия любых сил, движется таким образом, что принуждение со стороны свя связей и давление на связи имеет наименьшее значение; "Движение происходит с наименее возможным принуждением, если за меру принуждения, примененного в течение бесконечно малой момента, принять сумму произведений массы каждой точки на квадрат величины ее отклонения от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободна".

Развитием идеи Гаусса был принцип прямолинейного пути, сформулированный в 1892-1893 pp. Герцем. Этот принцип продолжает вместе с тем линию Якоби геометризацию вариационного принципа и динамики в целом. Он сформулирован в связи с известной попыткой Герца построить механику без понятия силы. Принцип наименьшего принуждения Гаусса является общим началом и может быть выражен одним из самых простых аналитических формулировок, в котором вывода уравнений движения любой системы сводится к определению минимума функции второй степени. Установление этого принципа связано, как указывает Гаусс, с его работами, посвященными способа наименьших квадратов.

"Механика без силы" Герца

В XVII в. в трудах Галилея и Ньютона были заложены принципиальные основы классической механики. В XVIII и XIX вв. Эйлер, Даламбер, Лагранж, Гамильтон, Якоби, Остроградский, опираясь на эти основы, построили замечательную сооружение аналитической механики и разработали ее мощные математические методы. Казалось, что механика этот "рай математических наук", как назвал ее Леонардо да Винчи, достигла высокой степени совершенства и своей завершенности. Но завершенность эта была лишь видимой, так как даже в основных понятиях и законах механики были заметны многочисленные трудности, которые удалось только временно отодвинуть, но отнюдь не преодолеть в ходе мощного прогресса аналитической механики.

Еще к коренному пересмотру физического содержания основных принципов классической механики, связанного с теорией относительности и квантовой теории, появился ряд работ, которые пытались по-новому осмыслить старые принципы. Эти попытки были связаны прежде всего с тем, что наряду с физикой дискретных тел возникла физика континуума поля, которое требовало критического пересмотра классической механики. Такой попыткой была, в частности, книга Генриха Герца (1857 1894) "Принципы механики, изложенные в новом связи", сыгравшей важную роль не только в развитии классической механики, но и в исторической подготовке теории относительности Эйнштейна.

Предельным понятием Ньютоновой механики была сила, действующая на это тело. Она была предельным понятием том, что вопрос о ее происхождении выходило за пределы механики. Понятие потенциального поля еще не означало перехода к другим предельных понятий, но приближало такой переход.

Механику Герца часто называют «механикой без силы". Хотя Герц и ввел понятие силы, однако оно не является основным, исходным понятием его механики. В этом заключается прежде всего основное отличие механики Герца от обычного ЕЕ изложения. Сложность понятия силы в классической механике, абсолютизация ее многими последними последователями Ньютона и привлекательная возможность объяснить силу движением каких-то (хотя бы и скрытых) масс привели многих физиков второй половины XIX в. к попытке пересмотреть содержание и место понятия силы в системе механики.

Путь к исключению понятия силы подсказывает уже сама механика Галилея-Ньютона. Наряду с собственно силами, является причиной изменения состояния движения, эта механика ввела другой вид сил, ограничивающие степень свободы движения последних. Направление сил определяется чисто геометрическими условиями, а их величина остается, честно говоря, неизвестной.

Элементарная механика в обычном изложении путает эти два вида сил, рассматривая силы условий как собственно силы, величина которых сначала неизвестна. Она сводит, таким образом, сили ограничения движения к собственно сил. Однако уже в аналитической механике различия этих сил выступает очень резко, гораздо резче, чем в элементарной механике. В уравнениях аналитической механики силы условий движения имеют совсем другой вид, чем собственно силы, которые определены только геометрическими условиями движения.

Герц поставил перед собой задачу, обратную той, что так или иначе решает элементарная механика: нельзя все собственно силы свести к силам ограничения движения? Возможно, что вообще все изменения скорости, которые наблюдаются, которые вроде бы ненужными с точки зрения геометрических связей, обусловленные самом деле не себе, а именно какими-то, возможно, еще не исследованными, геометрическими звьязками1. Сама сила лишь способ описания этих связей, применяется при известных допущениях, но отнюдь не является чем-то необходимым для однозначного и ясного научного познания мира. Понятие о силе как о причине замедления или ускорения в механике Герца исчезает навсегда. Сила, с точки зрения Герца, является только мерой переноса или взаимопревращения движения между "напрямую связанными" системами. Загадочная потенциальная энергия консервативных систем обычной механики оказывается обычной кинетической энергией скрытых материальных систем. В основе действий, наблюдаемых между удаленными телами (например, планетами) лежит материальный процесс, протекающий в скрытых материальных системах, связывающих обычные системы или системы, "наблюдаемые".

Механика Герца представляет собой в высшей степени понятную, математически обгрунтог вана картину механики. Единственным недостатком этой картины есть (согласно А. Т. Григорьян) ее иллюзорность. Герц доказал лишь, что скрытые или адиабатически-циклические системы, которые дополняют обычную систему к свободной, имеют все свойства обычных консервативных систем. Но отсюда еще не следует, что реальные консервативные системы является такими, какими их изображает механика Герца.

Носителем скрытых циклических систем, по мнению Герца, является мировой эфир, но так как скрытым системам Г

Загрузка...