Реферат на тему:


Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск






Загрузка...
От геометрического метода аналитической механики

От геометрического метода аналитической механики

План

1. Принцип наименьшего действия

2. Принцип Даламбера

3. Аналитическая механика материальной точки и динамика твердого тела Эйлера

4. Аналитическая механика системы материальных точек и тел Лагранжа

В XVIII-XIX вв. многие физики и философы прибегали к серьезному анализу и пересмотру учение Ньютона о пространстве и времени. С тех пор, как основы классической механики "получили благодаря Ньютону своей завершенной формы, их значение продолжало оставаться предметом споров по крайней мере до 1905 г.. Борьба разворачивалась на самых участках науки и жизни. Теория проверялась в экспедициях, в астрономических наблюдениях, в вычислениях математиков обсуждалась в философских и научных дискуссиях, излагалась в учебниках и монографиях.

Там, где у Ньютона речь шла об абсолютном пространстве и времени, где он ссылался при этом на эксперименты, некоторые из его последователей заявляли, что они не нуждаются в таких гипотез и даже доходило до того, что они сводили его вторую аксиому к простому определению ; поэтому различие между математикой и физикой как экспериментальной наукой сильно смещалась за счет последней, от которой было отделено так называемую чистую механику.

Другие, наоборот, настаивали на существенно экспериментальном характере этой аксиомы. Стороны, которые принимали участие в этих очень запутанных спорах, пытались привести многочисленные аргументы в поддержку своих точек зрения.

"Начала" Ньютона были изложены тяжелой геометрической языке. Доведение были громоздкие и сложные. В XVIII в. в механику проникают методы дифференциального и интегрального исчисления, не решился применить в своем основном труде один из создателей этих методов.

В XVIII в. происходили не только преобразования методов ньютоновской механики. Это век отмечен поисками общих принципов механики, эквивалентных законам НьЮтона, или даже более общих, чем эти принципы. В результате этих поисков было открыто принципы возможных перемещений в статипи, принцип Даламбера и принцип наименьшего действия Мопертюи-Эйлера в динамике.

Принцип наименьшего действия

История этого принципа корнями Герона Александрийского, его утверждение о кратчайшее время распространения света, с помощью которого Герой обосновал закон отражения.

Ферма (1601-1665) применил этот принцип к преломления света и сформулировал закон преломления света, исходя из постулата: "Природа действует наиболее легкими и доступными путями".

Позже эту идею развил И. Бернулли (1667-1748). Он сопоставил принцип Ферма с предложенной им вариационной механической задачей о линии кратчайшего спуска тяжелой точки в поле тяжести (брахистохроны). Эту задачу Бернулли сформулировал следующим образом: "В вертикальной плоскости даны две точки А и В. Определить траекторию, двигаясь по которой под воздействием собственного веса, тело М, начав двигаться из точки А, достигнет другой точки В в кратчайшее время". В

принципе Ферма и в задаче о брахистохроны речь идет об установлении минимального значения интеграла

"Я, - писал И. Бернулли, - открыл удивительное сходство между кривизной луча света в среде, постоянно меняется, и нашей брахистохрониою кривой". Так впервые было замечено оптико-механическую аналогию, сыгравшей важную роль в истории физики.

В дальнейшем эту идею развивал относительно Механики П. Мюпертюи (1698-1759). В статье "Закон покоя" (1740) он поставил цель вывести принцип равновесия системы тел и сформулировал его как экстремальный принцип для некоторой величины, которая получила название "суммы сил спокойствия".

Четыре года спустя Мопертюи выступил со статьей "Согласование различных законов природы", в которой утверждал, что законы оптики является следствием "метафизического закона", который заключается в том, что "природа, реализуя свои действия, всегда прибегает к наиболее простых средств "и принцип Ферма является принципу наименьшегодействия. Свет, по мнению Мопертюи, выбирает путь, "в котором количество действия является наименьшим". При этом он объясняет, что следует понимать под "количеством действия". "Это действие, утверждает Мопертюи, зависит от скорости, с которой движется тело, и от пространства, которое преодолевает последнее, но она не является ни скоростью, ни пространством, взятыми отдельно. Количество действия тем больше, чем больше скорость тела , она пропорциональна сумме произведений отрезков на скорость, с которой тело преодолевает каждый из них ". Принцип Ферма-Мопертюи выражается в виде утверждения:

В современной редакции принцип Мопертюи утверждает: когда в природе происходит какое-то изменение, количество действия, необходимая для этого изменения, является наименьшим из возможных.

Принцип Даламбера

Основной труд Ж.Л. Даламбера (1717-1783) "Трактат о динамике" была опубликована в 1743

Первая часть трактата посвящена построению аналитической статики. Здесь Даламбер формулирует "основные принципы механики", среди которых "принцип инерции", "принцип добавления движений" и "принцип равновесия".

"Принцип инерции" сформулирован отдельно для случая покоя и для случая равномерного прямолинейного движения. "Силой инерции, пишет Даламбер, т я вместе с Ньютоном называю свойство тела сохранять то состояние, в котором оно находится".

"Принцип добавления движений" представляет собой закон сложения скоростей и сил по правилу параллелограмма. На основе этого принципа Даламбер решает задачи статики.

"Принцип равновесия" сформулировано в виде следующей теоремы: "Если два тшщ движущихся со скоростями, обратнопропорциональна их массам, имеют противоположные направления, так что одно тело не может двигаться, не сдвигая с места на другое тело, то эти тела будут находиться в состоянии равновесия ". Во второй части «Трактата» Даламбер предложил общий метод составления дифференциальных уравнений движения любых материальных систем, основанный на сведении задачи динамики к статике. Он сформулировал правило для любой системы материальных точек, названное впоследствиив области механики. Эта программа содержится в его двухтомном труде "Механика или наука о движении, изложенная аналитически" (1736). "Механика" Эйлера была первым систематическим курсом ньютоновской механики. Она содержала основы динамики точки - под механикой Эйлер понимал наукучхро движение, в отличие от науки о равновесии сил, или статики. Определяющей чертой "Механики" Эйлера было широкое использование нового математического аппарата диференциальнотвчй интегрального исчислений. Коротко охарактеризовав основные труды по механике, появившиеся на рубеже XVII-XVIII вв., Эйлер отмечал сын-тетико-геометрический стиль их викладу.що создавал для читателей очень много трудностей. Именно в такой манере написаны "Начала" Ньютона и более поздняя "Фо-рономия" (1716) Я. Германа. Эйлер указывает, что работы Германа и Ньютона изложенные "по обычаю древних с помощью синтетических геометрических доказательств" без применения анализа, "только благодаря которому и можно достичь полного понимания этих вещей".

синтетика-геометрический метод не имел обобщающего характера, а требовал, как правило, индивидуальных построений относительно каждой задачи в отдельности. Эйлер признается, что после изучения "Форономии" и "Начал" он, как ему казалось, "достаточно ясно понял решения многих задач, однако задач, какой-то мере отступают от них, уже решить не мог". Тогда он попытался "выделить анализ по этому синтетического метода и те же предложения для собственной пользы проделать аналитически». Эйлер отмечает, что благодаря этому он значительно лучше понял суть вопроса. Он разработал принципиально новые методы исследования проблем механики, создал ее математический аппарат и блестяще применил его ко многим сложных задач. Благодаря Эйлеру дифференциальная геометрия, дифференциальные уравнения, вариационное исчисление стали инструментом механики. Метод Эйлера, развитый позже его преемниками, был однозначным и адекватным предмету.

Работа Эйлера по динамике твердого тела "Теория движения твердых тел" имеет большой вступление из шести раздилив, где снова изложены динамику точки. В вступление внесен ряд изменений: в частности, уравнения движения точки записываются с помощью проектирования на оси неподвижных прямоугольных координат (а не на касательную, главную нормаль и нормаль, то есть оси недвижимого природного трехгранника, связанного с точками траектории, как в "Механике") .

Следующий после вступления «Трактат о движении твердых тел" состоит из 19 разделов. В основу трактата положен принцип Даламбера. Коротко остановившись на поступательном движении твердого тела и введя понятие центра инерции, Эйлер рассматривает вращения вокруг неподвижной оси и вокруг неподвижной точки. Здесь представлены формулы для проекций мгновенной угловой скорости, углового ускорения на оси координат, используются так называемые углы Эйлера и т.д. Далее изложены свойства момента инерции, после чего Эйлер переходит собственно к динамике твердого тела. Он выводит дифференциальные уравнения вращения тяжелого тела вокруг его недвижимого центра тяжести при отсутствии, внешних сил и решает их для простого частного случая. Так возникла известная и столь же важна в теории гироскопа задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. Эйлер работал также над теорией судостроения, в области гидро- и аэромеханики, баллистики, теории устойчивости и теории малых колебаний, небесной механики и др.

Через восемь лет после выхода "Механики" Эйлер обогатил науку первым точной формулировкой принципа наименьшего действия. Формулировка принципа наименьшего действия, которые принадлежали Мопертюи, были еще очень несовершенны. Первое научное формулировка принципа принадлежит Эйлеру. Он сформулировал свой принцип следующим образом: интеграл имеет наименьшее значение для настоящей траектории, если рассматривать

последнюю в группе возможных траекторий, имеющих общие начальное и конечное положения и осуществляются с тем же значением энергии. Эйлер предоставляет своему принципу точного математического выражения и строгого обоснования для одной материальной точки, испытывает действия центральныхсил. В течение 1746-1749 pp. Эйлер написал несколько работ о фигурах равновесия гибкой нити, где принцип наименьшего действия были применены к задачам, в которых действуют упругие силы.

Таким образом, к 1744 механика обогатилась двумя важными принципами: принципом Даламбера и принципу наименьшего действия Мопертюи-Эйлера. Опираясь на эти принципы, Лагранж построил систему аналитической механики.

Аналитическая механика системы материальных точек и тел Лагранжа

Лагранж (1736 1813) окончательно порвал с геометрическими методами Ньютона и с гордостью згявляв1 что в его "Аналитической механике» практически отсутствуют какие-либо чертежи. "Я поставил себе цель, пишет Лагранж, свести теорию механики и методы решения связанных с ней задач в общих формул, простой развитие которых содержит все уравнения, необходимые для решения каждой задачи". Сам Лагранж характеризовал свои методы следующим образом: они "не требуют ни построений, ни геометрических или механических соображений, они нуждаются только планомерного и однообразного хода алгебраических операций. Все сторонники анализа (анализа бесконечно малых) с удовольствием убедятся в том, что механика становится новой отраслью анализа ". Эта характеристика означает, что аналитическая механика Лагранжа является отраслью анализа: она механикой, лишенной "механических соображений", потому что в ней указано общие методы составления уравнений для любой задачи механики, после чего решение становится чисто математической проблемой.

Как было отмечено выше, труд Эйлера это механика материальной точки и динамика твердого тела. Лагранж объединил механику системы материальных точек и тел и создал одинаков и общий метод возведения механических задач к решению соответствующих математических задач. При этом он, естественно, исходил из определенных физических и экспериментальных положений.

"Механика" Лагранжа делится на две части: статику и динамику. Статика Лагранжа базируется на принципе виртуальных (возможных) скоростей. "В виртуальные скоростью нужно понимать скорость, которую тело, находится в равновесии, способно приобрести в тот момент, когда равновесие нарушено, то есть ту скорость, которую тело фактически мало в первый момент своего движения ". Принцип виртуальных скоростей Лаг-ранж формулирует следующим образом : "если какая-либо система, состоящая из любого количества тел или точек, на каждую из которых действуют любые силы, находится в равновесии, и если эта система приобретает любого малого движения, в результате которого каждая точка проходит бесконечно малый путь, представляет собой ее верь уальну скорость, то сумма сил, умноженных каждая соответственно на путь, который проходит в направлении силы точка, в которой эту силу приложено, всегда равна нулю, если малые пути, пройденные в направлении действия сил, считать положительными, а пройденные в противоположном направлении считать отрицательными ".

Вводя этот принцип, Лагранж ссылался на данные опыта. Он указывал на общий закон равновесия машин: отношение сил обратное к отношению скоростей точек, к которым они приложены, причем скорости должны измеряться в направлении действия сил. Это положение, взятое в общем виде, и является принципом виртуальных скоростей, который "можно рассматривать как своеобразную аксиому механики. Впрочем, Лагранж привел и два доказательства принципа виртуальных скоростей, один из которых основан на" принципе блоков ".

В динамике Лагранжа опирается на два закона: закон инерции и закон сложения движений (по правилу параллелограмма). Второй закон механики Ньютона Лагранж выводит из этих двух законов.

Аналитическая динамика Лагранжа основывается на общей формуле, которую в наше время называют уравнением Даламбера Лагранжа, или общим уравнением динамики. "Развитие этой формулы, если при этом учесть условия, которые зависят от природы системы, дает все уравнения, необходимые для определения движения каждого тела, после этого нужно эти уравнения только интегрировать, что является уже задачей анализа".

Опираясь на свое общее уравнение динамики, Лагранж вывел диференциального уравнения движения в двух видах, соответствующие двум видам уравнений статики. Это известные уравнения движения Лагранжа первого и второго рода. Уравнения движения второго рода можно составить, зная общее выражение только для двух величин: кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Количество этих уравнений минимальна, она равна числу степеней свободы системы. Вместе с тем уравнения Лагранжа очень общими; их можно использовать для различных физических систем, если состояние таких систем можно описать с помощью значений их кинетической и потенциальной энергий. Кроме того, уравнение движения в форме Лагранжа второго рода имеют определенную структуру с математической точки зрения. Поэтому задача их решения (интегрирования) в общем виде является достаточно определенным, чтобы исследовать его чисто математически.

В первые годы своей научной деятельности в связи с работами, связанными с вариационным исчислением, Лагранж много внимания уделял принципу наименьшего действия. Он формулирует этот принцип с полной определенностью как чисто механическую теорему, справедливую при определенных условиях. Эта формулировка приводит к уже знакомому записи: обращается в нуль вариация суммы величин вида

где - масса одной из точек системы

V - ее скорость,

dS - элемент дороги, или, иначе говоря, бесконечно малый отрезок траектории точки .

К этому Лагранж добавляет, что dS = V dt, поэтому вместо можно написатичы Здесь под знаком интеграла мы видим (удвоенную) живую силу точки, а так как нам нужно взять сумму таких величин для всей механической системы, которая рассматривается, то в итоге под знаком интеграла окажется (удвоенная) живая сила всей системы в любой момент. Таким образом, считает Лагранж, рассмотрен принцип сводится, собственно, к тому, что сумма живых сил всех тел с момента, когда они выходят из заданных точек, до того момента, когда они приходят в другие заданные точки, является максимумом или минимумом. Следовательно, этот принцип можно было бы с полным правом назвать принципом на

Загрузка...