Реферат на тему:


Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск






Загрузка...
tryysdt

Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко

Крвавич Юрий Владимирович

УДК 519.21

стохастических интегралов и стохастическое дифференциальное уравнение ОТНОСИТЕЛЬНО дробное броуновское ДВИЖЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В

финансовой математике

01.01.05 теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Киев 2001

Актуальность темы исследования.

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики

Киевского национального университета имени Тараса Шевченко.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Мишура Юлия Степановна

профессор кафедры математического анализа

механико-математического факультета

Киевского национального университета имени Тараса Шевченко

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Свищук Анатолий Виталиевич

заведующий отделом математических проектов и программ

Международного математического центра НАН Украины;

кандидат физико-математических наук,

Юрачковский Андрей Павлович

доцент кафедры математики и теоретической радиофизики

радиофизического факультета

Киевского национального университета имени Тараса Шевченко

Ведущая организация: Институт прикладной математики и механики НАН Украины,

отдел теории вероятностей и математической статистики

(м. Донецьк)

Защита состоится "18" июня 2001 в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 26.001.37 при Киевском национальном университете имени Тараса Шевченко (03022, г.. Киев-22, пр-т Глушкова, 6, механико-математический факультет).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета имени Тараса Шевченко по адресу: г.. Киев, ул. Владимирская, 58.

Автореферат разослан "8" мая 2001

Ученый секретарь

специализованои ученого совета Моклячук М.П.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена задачам анализа стохастических интегралов и стохастических дифференциальных уравнений (СДР), содержащие дробный броуновское движение. Дробный броуновское движение (ГБР) является немарковським, гауссовский процесс со стационарными и зависимыми приростами, в силу чего, в отличие от обычного Винеровский Процесс, он хорошо описывает долгосрочную зависимость, то есть с помощью него можно моделировать явления, которые существенно зависят от прошлого. Кроме того, в диссертации рассматриваются так называемые смешанные модели, которые содержат компоненты, отдельно построенные по Винеровский Процесс и ГБР. Такие смешанные модели могут описывать процессы или явления, которые включают краткосрочную и долгосрочную компоненты.

В частности исследования процессов с долгосрочной зависимостью, конкретнее СДР, содержащих дифференциалы относительно Винеровский Процесс и ГБР, возникает в связи с развитием современной математической теории фондового рынка, особенно в той ее части, которая связана с современным стохастическим анализом.

Следует заметить, что исторически первой работой в финансовой математике стала диссертация Башелье, ученика Пуанкаре, который за несколько лет до Эйнштейна и за 23 года до Винера математически определил понятие '' броуновского движения '', использовал его в качестве модели динамики цен акции . Основной недостаток модели Башелье, который заключался в возможной видьемности цены акции, был в 1965 году отстранен известным экономистом Самюэльсон, который предложил для этих цен геометрическое броуновское движение. Сегодня эта модель носит имя Блэка и Скоулза, которые в 1973 году получили в рамках данной модели точные формулы расчета справедливой цены и хеджирующих стратегий для опционов европейского типа.

За последние десятилетия появилось много научных работ в области современного стохастического анализа в математической теории финансов. В рамках модели Блэка-Скоулза с использованием элементов функционального и впукли анализа было получено весомые результаты о структуре цен, о свойствах арбитражности, полноты и равновесия рынка.

После Азиатской кризиса 1998 года на фондовом рынке вышеупомянутые модели были подвергнуты критическому анализу, а затем начали рассматриваться математические модели цены акции, которые определяются с помощью ГБР. Так, например, в работе В. Вилингера, М. так-то и В. Теверовського, используя ежедневные статистические данные центра CRSP (Center for Research in Security Prices) о ценах акций, авторы нашли эмпирическую признак долгосрочной зависимости цены акции.

На сегодняшний день актуальной проблемой является разработка основных элементов стохастического анализа, которые можно было бы использовать для исследования характеристик рынка основных ценных бумаг, математические модели цены акции которого определяются с помощью ГБР, а именно таких характеристик, как арбитражнисть и финансовое равновесие рынка, условия замены вероятностной меры (применение теоремы Гирсанова).

Так в работах М. Целе, А. Рузмайкинои, П. Клодена исследуются полулинейных СДР, содержащих стохастические дифференциалы относительно Винеровский Процесс и ГБР. Однако, в работе М. Целе найдены условия существования и единственности только локального развязку СДР, представляющие как чистую, так и смешанной дроби модели цены акции; в работе А. Рузмайкинои найдены условия существования и единственности глобального решения уравнения, содержащего только один дифференциал относительно гельдерово непрерывного процесса, причем существование и единственность решения доказано при глобальной липшицевости коэффициента смещения, которая на практике очень редко выполняется; в работе работе П. Клодена рассматривается СДР с диферециаламы относительно Винеровский Процесс и ГБР, но в случае напивлинийности таких СДР сформулированы условия существования решения не выполняются. Поэтому в данной диссертации актуальным является исследование условий существования и единственности глобального решения двух типов полулинейных стохастических дифференциальных уравнений:

что мостки Киевского национального университета имени Тараса Шевченко, факультета математики университета Хельсинки (Финляндия), отдела теории вероятностей и математической статистики Института прикладной математики и механики НАН Украины (г.. Донецк) на международных конференциях: '' The 23rd Research Students 'Conference in Probability and Statistics' '(11-14 апреля 2000, Кардифф, Великобритания); '' Международная научная конференция имени М. Кравчука '' (11-14 мая 2000, Киев); '' First World Congress of the Bachelier Finance Society '' (28 июня - 1 июля 2000г., Париж, Франция) '' Workshop on Mathematical Finance '(Констанц, Германия, 5-7 октября 2000).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 6].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 16 параграфов, заключения и списка использованной литературы. Общий объем диссертации составляет 122 страницы, основной текст изложен на 111 страницах.

Основное содержание работы

В первом разделе исследуются свойства винеровской интегралов относительно ГБР.

В работе рассматривается полный вероятностное пространство с фильтрацией. Через обозначено дробный броунiвський движение (ГБР) с индексом Хюрста, что характеризуется следующими свойствами:

- процесс со стационарными приращениями;

и для всех;

для всех;

- гауссiвський процесс.

Поскольку долгосрочная зависимость характеризуется индексом Хюрста, то дальше в работе рассматриваются только такие значения. В силу теоремы Колмогорова траектории сепарабельних модификации этого процесса является непрерывные с вероятностью 1. В работе рассматривается именно такая модификация.

Термин "винеровской" означает интеграл с неслучайным подинтегральной функцией. Для определим интегральный оператор

а также определим скалярное произведение

где - обычный скалярное произведение в.

Обозначим через пространство эквивалентных классов измеримых функций таких, что. теперьмомента остановки существует константа такая, что выполняется неравенство

Теорема 1.4.4 Пусть и для произвольного функция удовлетворяет неравенство

Тогда для произвольного и случайного момента остановки существует константа для которой выполняется неравенство.

Следует заметить, что полученные оценки существенно зависят от свойств функции. В конце первой главы в параграфе 1.5 приведен пример оценки моментов решений некоторых стохастических дифференциальных уравнений, содержащие ГБР.

Второй раздел диссертации посвящен исследованию чистой дробной модели цены акции, определяется следующим СДР

В параграфе 2.1 приведены условия существования и единственности глобального решения стохастического дифференциального уравнения, содержащего только один стохастический дифференциал относительно ГБР.

Теорема 2.1.1 Пусть функция удовлетворяет условиям:

1);

2) условие Липшица по равномерно относительно, то есть

3) условие роста:.

Тогда, для уравнения чистой дробной модели цены акции существует единственное решение на, причем существует множество такова, что такая, что для любого. То есть, траектории с вероятностью 1 принадлежат к классу.

Далее в параграфе 2.2 доказано стохастической теорему Фубини для стохастических интегралов со случайным интеграндом и ГБР как интегратором. Для таких интегралов мы используем определение стохастического интеграла, где случайная, мерная, гельдерова функция порядка (см., Например, работу М. Целе, где доказано, что такой интеграл можно рассматривать как границу с вероятностью 1 интегральных сумм Римана-Стилтьеса). < / p>

Пусть случайная, мерная по совокупности переменных.

Теорема 2.2.1 Пусть существует множество, и на каждом функция удовлетворяет следующие условия:

кусочно гельдерова по с показателем, причем ее кусочно-гельдерова норма ограничена по;

функция интегрирована по Риману на отрезке.

Тогда существуют повторные интегралы и и м.н. выполняется равенство.

Перед тем, как сформулировать в данном разделе условии замены меры для уравнения чистой дробной модели модели цены акции, задается следующим СДР, которое содержит стохастические дифференциалы относительно Винеровский Процесс и ГБР

Как и в предыдущем разделе, для приведенного стохастического дифференциального уравнения, в параграфе 3.1 было найдено условия существования и единственности его глобального развязку. Эти условия аналогичны условиям существования и единственности решения стохастических дифференциальных уравнений, представляющих чистую дробную модель цены акции.

В параграфе 3.2 приведены условия замены меры для уравнения смешанной дробной модели цены акции. В конце раздела, в параграфе 3.3 приведены условия финансового равновесия рынка акций, цена которых определяется смешанной дробной моделью.

В четвертом разделе диссертации рассмотрен вопрос об условиях существования и отсутствия арбитража для трех видов-рынка акций и облигаций.

В параграфе 4.1 рассматривается первый вид рынка, определяется '' дробной '' акцией

и облигации; где есть неслучайные, измеримые функции, процесс является показателем этой акции.

Используя результат с работы Ширяева, где сказано, что-рынок является безарбитражним, когда существует мартингальна мера, в отношении которого имеются Мартингал, а отсутствие эквивалентной мартингальнои меры не является достаточным условием для существования арбитража-рынка, было выведено соотношение между существованием мартингальнои меры и свойством траекторий процесса.

Лема 4.1.1 Мартингальна мера существует тогда и только тогда, когда есть семимартингалом.

Далее в этом параграфе, при условии ограниченности функции, доказано отсутствие эквивалентной мартингальнои меры и для случая построен пример инвестиционного портфеля, допускает арбитраж.

В параграфе 4.2 рассматривается второй вид рынка, определяется модифицированной с помощью процесса Вольтерра, '' дробной '' акцией

где и неслучайные, измеримые функции.

Было найдено функции и такие, при которых показатель дробной акции, модифицированной с помощью процесса Вольтерра является семимартингалом, то есть, сам рынок является безарбитражний.

В пунктв модель цены акции на рынке основных ценных бумаг, впервые найдены условия существования и единственности решения; найдено условие финансового равновесия для такого рынка.

Для чистой дробной модели рынка акций доказано отсутствие эквивалентной мартингальнои меры, и построен пример инвестиционного портфеля, допускает арбитраж; для модифицированной с помощью процессов Вольтерра чистой дробной модели и модели с "однородным" ядром, найдено отсутствии арбитража.

Список опубликованных работ по теме диссертации

Крвавич Ю.В., Мишура Ю.С. Исследование условий существования и отсутствия арбитража в модели (B, S) рынка с фрактальным броуновским движением. // Вестник Киевского национального университета имени Тараса Шевченко. 2000 Вып. 4, С. 9 16.

Крвавич Ю.В., Мишура Ю.С. Некоторые максимальные неравенства моментов винеровской интегралов, построенных по дробным броуновским движением. // Теор. вероятностей. и матем. статист. Вып. 61, 1999, С. 72 83.

Крвавич Ю.В., Мишура Ю.С. Дифференцируемость дробных интегралов, ядра которых определяются с помощью фрактального броуновского движения. // Укр. мат. журн. 2001 Т. 53, №1. С 30 40.

Yu. Krvavych and Yu. Mishura, The stochastic Fubini theorem for integrals containing random integrand and fractional Brownian motion as integrator. // Theory of Random Processes. v. 6 (22), № 1-2, - 2000.

Yu. Krvavych, Arbitrage opportunities on (B, S) market defined by fractional Brownian motion. // Abstracts of the 23-rd RSC Conference on Probab. and Statistics (Session 5a). Cardiff University, April 11-14, 2000.

Yu. Krvavych, On some stochastic problems of Wiener integrals with respect to fractional Brownian motion. // Международная научная конференция им. акад. М. Кравчука (11 & ndash, 14 мая 2000г.). Тезисы докладов. Киев. 2000 С.445.

аннотация

Крвавич Ю.В. Стохастични интегралы и стохастические дифференциальные уравнения относительно дробного броуновского движения и их применение в финансовой математике. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05. теория вероятностей и математическая статистика. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2001.

В диссертации разработаны элементы стохастического анализа для стохастических интегралов, интегратор которых определяется дробным броуновским движением; дробных интегралов относительно функций, определяются дробным броуновским движением (ГБР). В частности, доказано стохастические теоремы Фубини для дробных интегралов, ядра которых определяются с помощью винеровской интегралов относительно ГБР или с помощью стохастических интегралов со случайным интеграндом и ГБР как интегратором, найдены условия дифференцируемости таких дробных интегралов, найдено верхние и нижние максимальные оценки моментов винеровской интегралов относительно дробного броуновского движения. Эти условия были использованы далее в работе при исследовании условий существования и единственности глобальных решений стохастических дифференциальных уравнений, содержащие стохастический интеграл относительно ГБР и представляют чистую и смешанную дробные модели цены акции на финансовом рынке основных ценных бумаг, при исследовании условий арбитражности и финансового равновесия при замене основной вероятностной меры.

Ключевые слова: дробный броуновское движение, стохастические интегралы и стохастические диферециальни уравнение относительно дробного броуновского движения, арбитражнисть и равновесие рынка.

abstract

Krvavych Yu.V. Stochastic integrals and stochastic differential equations with respect to fractional Brownian motion, and their applications in financial mathematics. Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.05. probability theory and statistics. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2001.

Диссертация посвящена разработке основных элементов анализа стохастических интегралов с интегратором, определяемым дробным броуновским движением (fBm), для дробных интегралов с ядрами, определенными fBm. В частности, доказаны стохастические теоремы Фубини для дробных интегралов с ядрами, определенными интегралами Винера по (wrt) fBm или определенные стохастическими интегралами со случайным подынтегральным выражением и fBm как интегратором, условия дифференцируемости для этих интегралов, а также верхние и нижние максимальные неравенства для моментов интегралов Винера по fBm. Все эти результаты были использованы далее в тезисе при исследовании условий существования и единственности глобального решения стохастических дифференциальных уравнений, содержащих дифференциальные w.r.t. fBm и представляет собой модели чистого и смешанного дробного курса акций; они также использовались при расследовании возможностей арбитража, условий равновесия финансового рынка и при изменении основной вероятностной меры.

Ключевые слова: дробное броуновское движение, стохастические интегралы и стохастические дифференциальные уравнения относительно фрактального броуновского движения, возможности арбитража и равновесие финансового рынка. АННОТАЦИЯ

Крвавич Ю.В. Стохастические интегралы и стохастические дифференциальные уравнения относительно дробного броуновского движения и их применение в финансовой математике. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидатов физико-математических наук по специальности 01.01.05. теория вероятностей и математическая статистика. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2001.

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, выводов и списка использованных источников. Объем диссертации 122 страницы. Во введении итоговое решение актуальности темы, цель и задачи исследования, научная новизна, практическое значение и апробация полученных результатов, краткое содержание основных результатов работы.

В первом разделе исследуются свойства винеровских интегралов относительно дробного броуновского движения (ДБР). Для таких интегралов в параграфе 1.1 доказана стохастическая теорема Фубини. Стохастическая теорема Фубини используется в параграфе 1.2 для получения условий дифференцируемости дробного интеграла, ядро которого определяется с помощью винеровского интеграла относительно ДБР. В параграфе 1.3 приведен пример применения дифференцируемости таких дробных интегралов при замене меры в линейных стохастических дифференциальных уравнениях, содержащих ДБР. Дальше, в параграфе 1.4 получены верхние и нижние оценки для моментов супремумов интегралов вида как для детерминированных, так

Загрузка...

Страницы: 1 2






Ещё Рефераты по вашей теме

РАЗРАБОТКА СПОСОБОВ И СРЕДСТВ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ И подавления СПАЛАХУВАНЬ метана в дегазационных СИСТЕМАХ угольных шахт - Автореферат
ПРЕССА НАЦИОНАЛЬНЫХ МЕНЬШИНСТВ УКРАИНЫ КАК СРЕДСТВО ИХ САМОУТВЕРЖДЕНИЕ В УСЛОВИЯХ СТАНОВЛЕНИЯ УКРАИНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОСТИ (1992 - 1999 ГГ.) - Автореферат
Повышение технического уровня зубчатых конических передач Новикова НА ОСНОВЕ многокритериальной оптимизации - Автореферат
Изоморфное замещение кальция на щелочные и редкоземельные элементы в синтетическом гидроксиапатита - Автореферат
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОМБИНИРОВАННЫХ массивно-плитного фундамента с грунтовыми основой при различных видах НАГРУЗОК - Автореферат
ЭКОЛОГО-геоморфологический анализ СРЕДНЕЙ ЧАСТИ бассейна Северского Донца - Автореферат
Фототерапии В КОМПЛЕКСНОМ ЛЕЧЕНИИ гингивита у ДЕТЕЙ И ПОДРОСТКОВ - Автореферат