Реферат на тему:


Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск






Загрузка...
НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ

Физико-технического института

низкая температура

ИМ. Б.И. Веркина

КУЛАГИН Вячеслав Михайлович

УДК 517.987

траекторных свойства ГРУПП псевдо-гомеоморфизм ПОЛЬСКИХ ПРОСТРАНСТВ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Харьков-2001

Актуальность темы исследования.

Работа выполнена в Физико-техническом институте низких температур

имени Б. И. Веркина НАН Украины.

Научный руководитель доктор физико-математических наук

Голодец Валентин Яковлевич

Физико-технический институт низких

температур имени Б. И. Веркина НАН Украины,

ведущий научный сотрудник.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Самойленко Юрий Стефанович

Институт математики НАН Украины,

заведующий отделом функционального анализа;

кандидат физико-математических наук, доцент

Нессонов Николай Иванович

государственный университет

сельского хозяйства.

Ведущая организация:

Харьковский национальный университет им. Каразина, механико-математический факультет.

Защита состоится 25.12.2001 г.. В 14 часов на заседании диссертационного совета Д 64.175.01 в Физико-техническом институте низких температур имени Б. И. Веркина НАН Украины по адресу: 61103, г. Харьков, пр.. Ленина, 47

к. 216.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Физико-технического института низких температур имени Б. И. Веркина НАН Украины,. Харьков

пр. Ленина, 47.

Автореферат разослан 22.11.2001 г..

Ученый секретарь

диссертационного совета В.О.Горькавий

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Материал диссертации относится к теории топологических динамических систем. В 1986 году известнымиспециалистами в области динамических систем Д.Сулливаном, Б.Вейссом и Дж. Райтом было предложено изучать группы гомеоморфизмов польского (то есть полного метрического сепарабельного) пространства с точностью до множеств первой категории (по аналогии с множествами меры нуль). Это направление в теории динамических систем получил название динамики общего положения. Оказалось, что при таком подходе удается получить очень интересные и важные результаты. В частности, в работе Сулливана, Вейсса, Райта было доказано, что каждая эргодическая действие многочисленными группы гомеоморфизмов польского совершенного пространства траекторных эквивалентна канонической эргодическая действия группы целых чисел. В метрической эргодической теории, где объектом исследования являются группы преобразований пространства с мерой, подобный факт имеет место только для класса аменабельних групп. В настоящее время метрическая траекторных теория уже стала широкой областью динамических систем, благодаря известным работам Г.Дая, Г.Макки, В.Кригера, А.Кони, Б.Вейсса, Я.Фельдмана, Р.Зиммера, В.Голодця, С. Безуглого, С.Синельщикова, О.Даниленко и других. В свою очередь в топологической динамике, которая является более сложной, существует несколько различных подходов даже к постановке вопросов. Кроме вишезгаданого подход в этом случае необходимо отметить работы Кригера в связи с топологическими марковской цепи, работы К.Скау, Я.Патнама и Т.Джордано с траекторных классификации канторовських минимальных систем, работы М.Бойля и Д.Хендельмана, работы Е.Глазнера и Б.Вейсса. Несмотря на это, многочисленные важные вопросы, которые уже стали классическими в метрической теории, остаются исследованными в топологическом варианте. Среди них изучение коциклив динамических систем (Макки, Кригер, Зиммер, Голодец, Синельщиков), задача внешней сопряженности (Кон, Кригер, Голодец, Безуглый, Синельщиков, Даниленко), теория пидвидношень отношений эквивалентности, порожденных динамическими системами (Фельдман, Зиммер, Сазерленд, Даниленко) и других сред. Диссертационная работа посвящена исследованию именно таких проблем с точки зрения динамики общегоположение. Кроме того, решается задача о траекторную структуру неергодичних из многочисленных групп псевдо-гомеоморфизмов.

Связь темы с научными программами. Работа выполнена в рамках тематического плана ФТИНТ НАН Украины по теме 1.4.10.22.6 '' Алгебраические и геометрические методы в теории операторов и теории динамических систем '' (№ государственной регистрации 0196U002943).

Цель и задачи исследования:

Описание классов траекторной эквивалентности неергодичних из многочисленных групп псевдо-гомеоморфизмов польского совершенного пространства.

Описание коциклив из многочисленных групп псевдо-гомеоморфизмов с точностью до слабой эквивалентности.

Нахождение инвариантов внешней сопряженности групп псевдо-гомеоморфизмов с нормализатора полной группы.

Классификация пидвидношень отношений эквивалентности, порожденных многочисленными группами псевдо-гомеоморфизмов.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Практическое и теоретическое значение. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы для дальнейших исследований в теории топологических динамических систем, в дескриптивной динамике, в теории операторных алгебр. К числу организаций, которые могут быть результатами диссертации входят Институт математики НАН Украины (Киев), Харьковский национальный университет, Физико-технический институт низких температур НАН Украины им. Б.И. Веркина.

Личный вклад соискателя. Тема исследования и постановки задач принадлежат научному руководителю Голодцю В.Я. и Синельщиковым С.Д. Все результаты получены лично.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции "Dynamical Systems and Ergodic Theory" (Кацивели, Украина, август 2000), и на семинаре по эргодической теории и теории операторных алгебр (ФТИНТ, Харьков, руководитель семинара В.Я. Голодец). < / p>

Публикации. По материалам диссертации опубликовано статьи [1-3].

Объем и структура диссертации. Диссертациясостоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы, содержащий 75 наименований. Объем диссертации 106 страниц, объем списка литературы 6 страниц.

Автор благодарит своему научному руководителю Валентину Яковлевичу Голодцю за постановки задач и постоянное внимание к работе.

Основное содержание работы

В разделе 1 напоминаются основные необходимые понятия и приводятся результаты вспомогательного характера. Начнем с необходимых определений. Польском пространством называется полный сепарабельних метрическое пространство. Далее везде X польский совершенный пространство. Все объекты в динамике общего положения (пространства, отражение, автоморфизм, отношение эквивалентности) рассматриваются с точностью до изменения на множествах первой категории, если это не оговорено дополнительно.

Определение 1.1: борелевского биекции пространства называется псевдо-гомеоморфизмом, если есть множество первой категории тогда и только тогда, когда множество первой категории.

Каждый гомеоморфизм является псевдо-гомеоморфизмом. Если псевдо-гомеоморфизм, то существует плотная -множина, такая что является гомеоморфизмом. С точностью до множеств первой категории изучения из многочисленных групп псевдо-гомеоморфизмов сводится к изучению из многочисленных групп гомеоморфизмов.

Если отношение эквивалентности на,, то через сказывается его насыщения: для некоторого.

Определение 1.2: Отношение эквивалентности, порожденное действием многочисленными группы псевдо-гомеоморфизмов пространства называется с многочисленным отношением эквивалентности общего положения на пространстве: для некоторого.

Множество Int псевдо-гомеоморфизм, такой что для всех} называется полной группой. Множество Aut псевдо-гомеоморфизм, такой что для всех} называется нормализатором полной группы.

Определение 1.3: многочисленными группы гомеоморфизмов и пространств и соответственно называются траекторных эквивалентными, если существуют плотные -пидмножины,, причем -инвариантно, а -инвариантно, да иснует гомеоморфизм, такие что для всех, и для всех.

Если и траекторных эквивалентны, то отношение и изоморфны ().

Определение 1.4 Группа гомеоморфизмов пространства Бэра со второй аксиомой зчисленности называется эргодическая, если существует точка, такая что ее орбита плотная. Это эквивалентно тому, что каждая -инвариантна подмножество со свойствами Бэра является или множеством первой категории, или дополнением к множеству первой категории.

Теорема 1.5: (Сулливан, Вейсс, Райт) Любые две эргодической многочисленными группы гомеоморфизмов польского совершенного пространства траекторных эквивалентны.

Раздел 2 содержит результаты о эргодическая разложения в динамике общего положения и описание классов траекторной эквивалентности неергодичних действий из многочисленных групп гомеоморфизмов польского совершенного пространства. Эргодическая разложения необходимо аппаратом для изучения свойств неергодичних групп преобразований. В отличие от ситуации в метрической теории, это достаточно не исследовано понятие в топологической динамике. Подраздел 2.1 посвящен изучению именно его. Пусть отношение эквивалентности, порожденное произвольной группой гомеоморфизмов пространства. Разбивая отношение эквивалентности для отношения определяется следующим образом:. Тогда, а каждый класс эквивалентности является -пидмножиною в (а следовательно, польским пространством). Действие группы на каждом эргодическая, поэтому классы -еквивалентности квалифицируются как эргодической компоненты действия. Далее изучаются свойства топологического фактор-пространства, называется пространством эргодического разложения системы в динамике общего положения. Показано, что это-пространство Бэра со второй аксиомой зчисленности, причем борелевского структура, порожденная топологией стандартная. Кроме того, выбрасывание как множества первой категории с, так и -инвариантнои множества первой категории с X не меняет, в существенном, ни динамическую систему, ни фактор-простор соответственно. Следующая теорема говорит о том, что с точностью до множества первой категории, существует подмножество в, которая играет роль польського фактор-пространства эргодического разложения.

Теорема 2.1: Пусть группа гомеоморфизмов польского совершенного пространства, разбивая отношение эквивалентности. Тогда существуют: плотная -инвариантна -пидмножина "и заперта в" трансверсалями отношение эквивалентности, причем селектор ' непрерывное и открытое отображение, где берется с относительной топологией.

В подразделе 2.2 получено полное описание классов траекторной эквивалентности неергодичних из многочисленных групп гомеоморфизмов польского совершенного пространства.

Предложение 2.2: Пусть многочисленными группа гомеоморфизмов польского совершенного пространства, разбивая отношение эквивалентности, построенное по действию группы, закрытая -трансверсаль в, которая является совершенной как топологическое пространство. Тогда существуют: плотная -инвариантна -множина и разбиения пространства на две открытое-заперты -инвариантни подмножества, причем во все -орбиты представляют собой польские совершенные пространства, а на (так все -орбиты дискретные).

Пространство называется дискретной частью разложения, а чисто непрерывной. Таким образом, если в действии группы отсутствуют эргодической компоненты второй категории, задача описания разбивается на две: случай действия дискретного типа и случай действия чисто непрерывного типа. Далее мы классифицируем их по отдельности (теоремы 2.3 и 2.4 соответственно). Существенную роль здесь играет теорема 2.1. Если действие группы имеет эргодической компоненты второй категории, то их количество не более многочисленными, поэтому этот случай сводится к случаю эргодическая действия (см. Теорема 1.5) и рассмотренных нами двух случаев.

Теорема 2.3: Пусть Из многочисленных отношение эквивалентности общего положения дискретного типа на польском совершенном пространстве. Тогда, с точностью до множества первой категории, можно представить в виде: N, где каждый или польский совершенный пространство, или пустое множество, причем для некоторого N и,, где,.

Под действием группы N Z2 на пространстве вида N понимаем послойное действие:, где NZ2, N, а N Z2 действует на N естественным образом.

Теорема 2.4: Пусть многочисленными группа гомеоморфизмов чисто непрерывного типа. Тогда существуют: плотная -инвариантна -пидмножина, польский совершенный пространство и гомеоморфизм, где плотная -пидмножина в N, является инвариантной относительно послойной действия группы N Z2 на, причем действия групп и N Z2 прочно траекторных эквивалентны на.

Глава 3 посвящен изучению коциклив из многочисленных групп псевдо-гомеоморфизмов польского совершенного пространства со значениями в польских группах. Всюду в работе рассматриваются орбитальные коциклы, то есть коциклы, определенные в отношении эквивалентности, порожденным действием группы.

Определение 3.1: Пусть Из многочисленных отношение эквивалентности общего положения на, польская группа. Борелевского отображения называется коциклом отношение эквивалентности со значениями в польской группе G (), если равенство выполнено для всех, где Y некоторая плотная R-инвариантная -пидмножина в X.

Два коциклы когомологични (), если существует борелевского функция, такая что для всех, с точностью до множества первой категории.

В подразделе 3.1 определяются и изучаются основные понятия и конструкции, связанные с коцикламы в динамике общего положения.

Пусть, где G польская группа, а отношение является порожденным многочисленными группой гомеоморфизмов X. Косым произведением называется действие группы на пространстве, которая определяется следующим образом:, и обозначается через. является действием псевдо-гомеоморфизм.

Одной из основных задач в изучении коциклив является классификация их с точностью до слабой эквивалентности:

Определение 3.3: Коциклы называются слабо эквивалентными, если существует Aut, такой что.

Если коциклы слабо эквивалентны, то соответствующие косые произведения и траекторных эквивалентны.

Далее вводится очень важное понятие топологической действия Макки. В мерном эргодической теории это понятие впервые появилось в неявной форме в знаменитой работе Амброза и Какутани о специальном представлення потоков. Позже Макки определил это действие в более общей ситуации для коциклив измеримых групп преобразований со значениями в локально-компактных группах в связи с теорией виртуальных подгрупп. Кригер свел задачу траекторной эквивалентности автоморфизмов пространства Лебега с квазиинвариантною степени к задаче изоморфизм потоков Пуанкаре, а поток Пуанкаре является на самом деле действием Макки, ассоциированной с коциклом Радона-Никодима динамической системы. Наконец Голодец и Синельщиков осуществили классификацию коциклив аменабельних эргодическая измеримых отношений эквивалентности со значениями в локально-компактных группах в терминах действия Макки. Мы определяем топологическую действие Макки для коциклив отношений эквивалентности общего положения со значениями в произвольной польской группе.

Пусть. Пусть обозначает следующее действие группы на пространстве:. Пусть отношение еквивалентнсти, порожденное косым произведением, разбивая отношение эквивалентности для того,, а фактор-отображение. Действие группы на фактор-пространстве эргодического разложения системы (), которая определяется следующим образом:

, где,

называется топологической действием Макки, ассоциированной с коциклом. Проверяется, что это действие является непрерывной. Таким образом, действие Макки это непрерывная действие польской группы на топологическом-пространства Бэра со второй аксиомой зчисленности. С измерительной же точки зрения это борелевского действие польской группы на стандартном борелевского пространстве, что очень важно для изучения свойств орбит и стабилизаторов этого действия. В частности, каждая орбита является борелевского опилками в, и каждый стабилизатор является замкнутой опилками в G. Отметим также, что действие Макки корректно определена с точки зрения динамики общего положения, то есть выброс (-инвариантнои) множества первой категории не меняет, в существенном, ее. Чрезвычайная важность действия Макки состоит в том, что она является инвариантом слабой эквивалентности коциклив

Предложение 3.4 Если коциклы слабо эквивалентны, то ассоциированные действия Макки и изоморфных с точностью до множества первой категории.

Действие Макки эргодическая тогда и только тогда, когда отношение R является эргодической. Далее везде предполагаем, что R эргодическая.

В случае с многочисленными группы G, можно выбрасывать с произвольные множества первой категории. Итак, принимая во внимание результаты раздела 1, получим, что действие Макки многочисленными группы является действием на польском пространстве.

Подразделение 3.2 содержит результат о представлении произвольной эргодической действия многочисленными группы в виде действия Макки, что ассоциированная с некоторым коциклом эргодического отношение эквивалентности:

Теорема 3.5: Пусть G Из многочисленных эргодическая группа гомеоморфизмов польского совершенного пространства Y. Тогда существует коцикл, где R Из многочисленных эргодическая отношение эквивалентности общего положения, для которого ассоциированная действие Макки изоморфна действия G на Y.

В подразделе 3.3 рассмотрено специальный класс коциклив транзитных. Транзитность коцикла эквивалентна тому, что косой произведение, построенный по ним является действием дискретного типа. Действие Макки транзитного коцикла всегда свободна. Для транзитных коциклив со значениями в произвольной многочисленными группе удается получить полную классификацию в терминах действия Макки

Теорема 3.6: Пусть R эргодическая отношение эквивалентности общего положения на польском совершенном пространстве, G многочисленными группа. Два транзитные коциклы, слабо эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие действия Макки и изоморфны (с точностью до множества первой категории).

Подразделение 3.4 посвящен изучению важнейшего класса коциклив эргодической. Здесь мы получим один из важных результатов работы теорему единственности (3.8) для эргодической коциклив со значениями в произвольной польской группе.

Определение 3.7: Пусть G польская группа. Коцикл называется эргодической, если косой произведение является эргодическим на.

Действие Макки, ассоциированная с эргодическим коциклом, является тривиальной действием на Одноточечный пространстве. С помощью методов подразделения 3.2можно доказать существование эргодического коцикла со значениями в произвольной польской группе.

Теорема 3.8: Пусть R эргодическая отношение эквивалентности общего положения на польском совершенном пространстве, G польская группа. Любые два эргодической коциклы, слабо эквивалентны, то есть существуют: плотная -инвариантна -множина, Aut и борелевского функция, такие что гомеоморфизм и

для всех.

В Подразделении 3.5 решена задача внешней сопряженности зчы-с-лен-ных под-групп го-мео-мо-р-фи-с-мел с но-р-ма-ли-за-то-ра по ственной ответную игру пи. Как что тра-е-к-то-р-на клас-си-фи-ка-ция дает клас-си-фи-ка-цию от-но-шень эквивалентности общего положения, то задача о внешней сопряженность это "относительная классификация", то есть классификация

Загрузка...

Страницы: 1 2






Ещё Рефераты по вашей теме

Надежность и устойчивость коммерческих банков: оценка и регулирования - Автореферат
ОРГАНИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ бурения НА ОСНОВЕ Многопараметрические ИНФОРМАЦИОННОЙ МОДЕЛИ - Автореферат
ДЕФОРМИРОВАНИЯ И выпучивания Гладких И подкрепленных цилиндрических оболочек при статических нагрузках (экспериментально-теоретических ИССЛЕДОВАНИЯ) - Автореферат
Технологические основы выращивания кристаллов соединений AIIBVI из расплава под давлением инертного газа - Автореферат
Состояния соматического ЗДОРОВЬЕ "Я И ФАКТОРЫ РИСКА ПО ЕГО НАРУШЕНИЙ У ДЕТЕЙ ШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА - Автореферат
Запорожская наследие на юге Украины последней четверти XVIII - начала XIX века - Автореферат
Управление эффективным развитием паливопостачальних об объединений Украины на основе контроллинга - Автореферат