Реферат на тему:


Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск






Загрузка...
Общая характеристика работы

Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина

Рекало Андрей Михайлович

УДК 517.94

КАЧЕСТВЕННАЯ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЕ связей

НЕЛИНЕЙНЫХ параболических уравнений

В тонких двухслойных ОБЛАСТЯХ

01.01.03 математическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Харьков 2004

Актуальность темы исследования.

Работа выполнена в Харьковском национальном университете имени В.Н. Каразина

Министерства образования и науки Украины.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Чуешов Игорь Дмитриевич,

Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина,

завидувaч кафедры математической физики и вычислительной

математики.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Шишков Андрей Евгеньевич

Институт прикладной математики и механики

НАН Украины, м. Донецьк,

исполняющий обязанности связей заведующего отделом

уравнений в частных производных;

доктор физико-математических наук, старший

научный сотрудник

Щербина Мария Владимировна

Физико-технический институт низких температур

им. Б.И.Веркина НАН Украины,. Харьков

заведующий отделом статистических методов

математической физики.

Ведущая организация: Институт математики НАН Украины,

отдел математической физики., Г. Киев.

Защита состоится 27 августа 2004 в 1530 на заседании диссертационного

совета Д 64.051.11 при Харьковском национальном университете имени В.Н. Каразина по

адресу: 61077, г.. Харьков, пл. Свободы, 4, ауд. 6-48.

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке Харьковского

национального университета имени В. Н. Каразина по адресу: 61077, г.. Харьков, пл.

Свободы,4.

Автореферат разослан 7 июля 2004

Ученый секретарь

диссертационного совета Скорик В.А..

Общая характеристика работы

Актуальность темы. После основных работ А.А. Ладыженской, Дж. Марсдена, Д.Хенри, Ч. Фояша, Р. темам, М.И. Вишика, А.В. Бабина и других началось интенсивное исследование асимптотической динамики нелинейных диссипативных уравнений математической физики. Главное внимание при этом уделяется выяснению структуры глобальных аттракторов конечномерных инвариантных множеств, асимптотически привлекают все траектории исходной бесконечномерной динамической системы.

До сих пор наиболее содержательные результаты по асимптотической динамики получено для скалярных уравнений реакции-диффузии. Этот важный класс уравнений содержит задачи популяционной генетики (уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова), нейрофизиологии (уравнение Фитцхью-Нагумо), простые модели управления ядерными реакторами, нелинейные уравнения теплопроводности и тому подобное. Математическая теория уравнений реакции-диффузии развивалась в течение последних 30 лет многими математиками, в том числе Т.И. Зеленяком, Х. Матано, Дж. Хейлом, П.Л. Ивеко, Д. Хенри. В ходе этих исследований было получено достаточно полное описание аттракторов пространственно-одномерных уравнений. В то же время, важные вопросы о структуре аттракторов уравнений реакции-диффузии в многомерных областях пока остаются открытыми.

Определенного прогресса в исследовании этих проблем было достигнуто, начиная с 1990-х годов, в работах Дж. Хейла Ж. Рожель и М. Прицци К. Рубаковського, где рассматриваются нелинейные уравнения в тонких областях. Оказалось, что асимптотическое поведение решений уравнения реакции-диффузии в достаточно тонкой двумерной области может быть хорошо аппроксимирована динамикой качественно более простой предельной задачи (что составляет скалярное параболическое уравнение на соответствующем графе).

В диссертации исследуются аттракторы системы уравнений реакции-диффузии в тонкой двухслойныеи области с контактной внутренней границей. Подобная система может быть использована для моделирования химических и тепловых процессов в тонких двухслойных пленках. Необходимо отметить, что в случае нелинейных уравнений в тонких сложенных областях с условиями сообщения на контактных границах уже на этапе вывода предельной задачи могут возникать определенные сложности. Кроме того, для исследования аттракторов таких уравнений необходимо модифицировать стандартные методы теории бесконечномерных диссипативных систем, непосредственно неприменимы к сингулярно возмущенных краевых задач. В математической литературе пока отсутствуют результаты по асимптотической поведения контактных задач в тонких областях для нелинейных уравнений рассматриваемого в диссертации типа.

Итак, актуальным является дальнейшее исследование параболических уравнений в тонких сложенных областях с условиями сообщения. Важно выяснить зависимость асимптотического поведения решений от параметров, определяющих краевые условия, описать в явном виде структуру предельных уравнений и строго обосновать предельный переход. С точки зрения теории динамических систем важной задачей является описание асимптотической динамики исходной задачи (в частности, глобальных аттракторов) с помощью предельной задачи.

Св Связь работы с научными программами, планами, темами. Диссертационная работа выполнена на кафедре математической физики и вычислительной математики механико-математического факультета Харьковского национального университета имени В.Н. Каразина в рамках госбюджетной научно-исследовательской темы "Качественные методы исследования начально-краевых задач математической физики" (номер государственной регистрации 0100U003363).

Цель и задачи исследования. Целью исследования является описание асимптотической динамики уравнения реакции-диффузии в тонкой двухслойной области с условиями сообщения на контактной границе.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1) доказать однозначную корректную развязность начально-краевой задачи, розглядаеть-ся, получитьравномерные по толщине области априорные оценки решений, довести дисипативнисть и компактность соответствующей полугруппы;

2) обосновать предельный переход в уравнении, когда толщина области стремится к нулю и явно описать структуру предельной системы, довести непрерывную зависимость аттрактора задачи от толщины области;

3) опираясь на свойства предельной системы, получить для задачи в тонкой области результаты по асимптотической динамики, могут не выполняться в произвольных областях (существование инерциальных многообразий, стабилизация решений и т.д.).

Объект исследования. Начально-краевые задачи для полулинейных параболических уравнений в тонких областях с контактной внутренней границей.

Предмет исследования. Асимптотическая динамика уравнений реакции-диффузии в двухслойных тонких областях, зависимость качественной поведения решений от параметров, контролирующих условия сопряжения на контактной границе.

Методы исследования. В диссертационном исследовании использованы методы теории линейных и полулинейных уравнений в частных производных, метод локальной линиаризации, теорию возмущений самоспряжених операторов, теорию глобальных инвариантных многообразий полугрупп.

Научная новизна полученных результатов. В диссертационной работе впервые исследована качественная поведение решений контактных задач для уравнений реакции-диффузии в тонких сложенных областях и получены следующие новые результаты:

1) Доведение корректную глобальную развязность указанной задачи и получено равномерные по толщине области априорные оценки решений в классах Соболева.

2) Доказано, что, когда толщина области стремится к нулю, решения исходной задачи совпадают на конечных интервалах времени до решений некоторой предельной системы, заданная в области меньшей размерности.

3) Получены теоремы о непрерывности совокупности глобальных аттракторов задачи в метриках Хаусдорфа; в случае двумерной тонкой области получено достаточные условия стабилизации каждого развязку к единому стационарного Разрешку, обобщающие известные результаты относительно уравнений в одномерных и однослойных двумерных тонких областях.

4) Установлено, что все решения исходной системы с экспоненциальной скоростью привлекаются к бесконечномерного линейного подпространства фазового пространства, если область достаточно тонкой и параметры задачи определенным образом согласовано. Как следствие этого результата, доказано, что в этой ситуации глобальные аттракторы исходной и предельной задач можно отождествить.

5) При условии, когда нелинейные члены, входящие в систему, являются действительными аналитическими, доказано существование двух линейных функционалов, полностью определяют асимп-тотичну динамику системы. Ранее результаты относительно существования малого числа функционалов, определяющих динамику, были известны лишь для пространственно равно трехмерных уравнений.

6) Предложена новая модификация метода Ляпунова-Перрона, с помощью которой в случае системы в двумерной тонкой области построено непрерывно диференци-йовни инерциальные многообразия.

Практическое значение полученных результатов. Работа носит теоретический характер. Методы, которые развиваются в диссертации, могут составить основу для дальнейших качественных исследований контактных задач для сложных нелинейных уравнений и систем (в том числе трехмерной системы Навье-Стокса) в тонких сложенных областях. Конкретные новые результаты работы по асимптотической динамики могут быть использованы с целью выяснения эффектов хаотизации решений, экспериментально и численно наблюдаются в прикладных задачах, которые моделируются с помощью уравнений реакции-диффузии.

Личный вклад соискателя. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно. Научному руководителю И.Д. Чуешов принадлежит постановка задачи, а также теоремы 1.3 и 1.5 в работе [1].

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной конференции "Теория функций и математическая физика", посвященной 100-летию Н.И. Ахиезера (г.. Харьков, 13-17 августа 2001г.), на Международной конференции "Обратные задачи и нелинейные уравнения" (г.. Харьков, 12-16 августа 2002), на Международной конференции "Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных" (г.. Алушта, 15-21 сентября 2003 г. .), на семинаре группы численного анализа и уравнений в частных производных математического факультета университета Париж-Юг (г.. Орсэ, Франция, руководитель профессор Д. Хильхорст), на семинаре математического отделения Физико-технического института низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины (руководитель академик Е.Я. Хруслов), на семинаре кафедры математической физики и вычислительной математики Харьковского национального университета (руководитель профессор И.Д. Чуешов).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах, в том числе 5 статей в профессиональных изданиях и 3 работы в тезисах докладов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Общий объем диссертации составляет 143 страницы. Список использованных источников занимает 10 страниц и содержит 102 наименования. Результаты, вынесены на защиту, приведены в разделах 2 4.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность научной проблемы, рассматривается в диссертации, приведены цели и задачи исследования, а также разъяснено научная новизна полученных результатов.

Раздел 1 содержит обзор литературы по теме диссертации и обоснование выбора направления исследований.

В подразделе 2.1 раздела 2 введен в рассмотрение начально-краевую задачу для напивлиний ного параболического уравнения в двухслойной тонкой области, с условиями сопряжения на внутренней контактной границы (система (1) (4)). Раздел 2 является предварительным для дальнейшего изучения асимптотического поведения решений задачи при,, которому посвящен основную часть работы.

Пусть и ограничены областями в,, имеющие вид где и ограниченная область в с пределом класса. В дальнейшем для упрощения обозначений множини и не различаются.

Рассматривается система уравнений

(1)

по начальным условиям

(2)

Предполагается, что компоненты и удовлетворяют условию Неймана

(3)

на внешней части границы составленной области и условие сопряжения на вид

(4)

Здесь производная функции по направлению нормали, внешней к. Параметры и считаются положительными. О функциях предполагается, что

(5)

где, если и произвольное, если. Кроме того, пусть существуют такие числа, и, что для всех справедливы неравенства

(6)

Предполагается также, что выполнены условия

(7)

( стандартные пространства Соболева на области) и для каждого

(8)

Задача (1) (4) представляет собой модель химической кинетики, описывающей поведение системы, состоящей из двух компонентов, заполняющих тонкие соприкасающихся слоя и. Реакция компонентов происходит только на поверхности, разделяющей и. Интенсивность реакции на зависит от толщины областей, заполненных реагентами, и описывается "коэффициентом обмена".

В подразделениях 2.2, 2.3 введен необходимые функциональные пространства и доказано коэрцитивность и регулярность в самоспряженого оператора, соответствует эллиптической части задачи (1) (4). Основные результаты раздела 2 содержатся в следующей теореме, доведение которой приведены в подразделе 2.4.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (5) (8). Тогда для всех и для любого задача (1) (4) имеет единственный сильный развязку связь

где пространство состоит из всех элементов пространства, удовлетворяющие краевые условия (3), (4). Каждый развязку связь направляется в -норма при множеству стационарных развязку связей задачи (1) (4).

Для каждого задача (1) (4) порождает компактную динамическую систему,. При этом для любого

Кроме того, существует такое число, что для любого шара найдется такое, что

есть полугруппа является диссипативной в равномерно по.

Соответствующий глобальный атрактор (максимальная закрытая ограниченное подмножество пространства, является инвариантной относительно для всех) лежит в пространстве и совпадает с неустойчивым многообразия, что выходит из. Иначе говоря, представляет собой о единения всех полных траекторий таких, что

В подразделе 2.4, кроме того, получено равномерные по толщине области априорные оценки развязку связей, а также доказано дифференцируемость по Фреше операторов полугруппы.

В разделе 3 изучаются предельные свойства развязку связей задачи (1) (4) при (т.е. при утончении области). Начиная с этого раздела, предполагается, что "коэффициент обмена" в условии сопряжения (4) имеет вид

(9)

Пусть соответствующая полугруппа. В разделе исследуются асимптотические свойства ее глобального аттрактора, когда. С выясняется, что эти свойства существенно зависят от величины показателя. В зависимости от того, будет ли параметр принимать значения равного единице, большего единицы или менее единицы, "асимптотической границей" исходной задачи будет система уравнений в области, соответственно,

(а) при

(10)

(б) при

(11)

(в) при

(12)

где

,,.

Подразделение 3.1 содержит формулировку основных результатов раздела. Для описания предельного поведения полугрупп и их глобальных аттракторов введено операторы

Пусть. Ясно, что непрерывно отображает в и в.

Следующая теорема, доказательство которой приведены в подразделе 3.2, описывает асимптотическое поведение оператора при в случае.

Теорема 2. Пусть,, эволюционный оператор задачи, соответственно, (10) при и (11) при. Пусть при, при. Тогда для каждого существуют стали и такие, что

для любого элемента такого, что.

Кроме того, для любого справедливая оценка

Основные результаты диссертации о близости аттракторов до предельного и предельной задач содержатся в двух следующих теоремах, доведением которых посвящено, соответственно, подразделения 3.3 и 3.5.

Теорема 3. Для любого каких справедливое соотношение

где глобальный аттрактор задачи (1) (4) и глобальный аттрактор задачи, соответственно, (10) при и (11) при.

Теорема 4. Пусть. Предположим, что все неподвижные точки задачи, соответственно, (10) () (11) () является гиперболическими. Тогда для некоторых,, справедливо соотношение

Где те же, что и в теореме 3, а расстояние от множества множеству определено равенством

Теоремы 3 и 4 показывают, что случай соответствует слабом взаимодействии компонентов и разв связи задачи (1) (4). Их предельная динамика описывается парой независимых уравнений (11) и асимптотически эти компоненты эволюционируют независимо друг от друга. При предельная задача (10) содержит обменный член, то есть на границе компоненты и продолжают взаимодействовать. При И.Д. Чуешов (см. [1]) были доведены утверждения, аналогичные теорем 2, 3. Из этих результатов следует, что случай соответствует сильной предельной взаимодействия компонентов (предельной системой является (12)). Фактически при наблюдается предельная синхронизация компонентов и, т.е. при имеем смесь компонентов (со средними коэффициентом диффузии и реактивным членом).

Подразделение 3.4 посвящено вопросу о стабилизации траекторий полугрупп в неподвижных точек. В силу теоремы 1 все решения задачи (1) (4) при приближаются к множеству стационарных решений. Возникает вопрос: стабилизируется каждый развязок к единственной неподвижной точки? В 1968 Т.И. Зеленяк получил положительный ответ в случае пространственно-одномерных квазилинейных параболических уравнений с краевыми условиями Дирихле или Неймана. Однако в 1996г. П. Полачик и К. Рубаковський Polбиik P., Rybakowski K.P. Nonconvergent bounded trajectories in semilinear heat equations // J .. Diff. Eqs. 1996. Vol. 124. P. 472 494. построили пример уравнения реакции-диффузии, заданного в круге, с условиями Дирихле на границе, такого, что некоторое его решение

"навиваться" на множество неподвижных точек, гомеоморфно кола. В теореме 5 приведены достаточное условие стабилизации каждого решении задачи (1) (4) к единому стационарного развязку. При этом используется общая схема доведения стабилизации решений абстрактных эволюционных уравнений, которую Дж. Хейл и Ж. Рожель Hale J., Raugel G. Convergence in gradient-like systems with applications to PDE // Zeitschrift angew Math Phys. 1992 Vol. 43. P. 63

Загрузка...

Страницы: 1 2 3