Реферат на тему:


Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск






Загрузка...
АВТОРЕФЕРАТ

Национальная академия наук Украины

Институт кибернетики имени В.М. Глушкова

Пепеляев Татьяна Владимировна

УДК 519.21

нелинейных динамических МОДЕЛИ

В ЗАДАЧАХ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ

И ТЕОРИИ РИСКА

01.05.01 теоретические основы информатики и кибернетики

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Киев 2004

Актуальность темы исследования.

Работа выполнена в Институте кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор,

Кнопов Павел Соломонович

Институт кибернетики им. В.М. Глушкова

НАН Украины, заведующий отделом.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Андреев Николай Варфоломеевич

Института прикладного и системного анализа

НАН Украины и Министерства образования Украины

ведущий научный сотрудник

кандидат физико-математических наук,

Черней Руслан Константинович

Межрегиональной академии управления персоналом

доцент.

Ведущая организация: Киевский национальный университет

имени Тараса Шевченко, факультет кибернетики

кафедра прикладной статистики.

Защита состоится "24" сентября 2004 в (о) 12:00 на заседании

диссертационного совета Д 26.194.02 при Институте кибернетики имени

В.М. Глушкова НАН Украины по адресу:

03680 МПС Киев-187, проспект Академика Глушкова, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-техническом архиве института.

Автореферат разослан "18" августа 2004

Ученый секретарь

диссертационного совета СИНЯВСКИЙ В.Ф.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Научно-технический прогресс требует все большего применения математических методов в различных областях науки, техники, экономики. Наряду с другими математическими дисциплинами это способствуетбыстрому развитию финансовой математики и теории риска. О теоретическое и практическое значение этих наук свидетельствуют многочисленные публикации, количество которых быстро увеличивается с каждым годом. Ряд фундаментальных результатов, касающихся моделирования поведения участников финансовых рынков, принадлежат Т. Бьйорку, Д. Дюфи, И. Каратзасу, Ю.С. Мишуре, Б. Оксендалу, А.М. Ширяеву и др.

Каждый суб объект экономической деятельности пытается наилучшим образом распоряжаться своими активами: средствами, акциями, облигациями и другими ценными бумагами. Инвестор, оперирующий на рынке ценных бумаг, прилагает определенные усилия для получения наиболее возможной прибыли при вкладе в свою финансовую деятельность имеющегося капитала. Но на рынке постоянно происходят изменения процентных ставок, уровня инфляции, валютных курсов, биржевых показателей и др. От умения прогнозировать эти показатели в значительной степени зависит конечный результат. Именно для финансовых рынков наиболее важными и актуальными являются проблемы определения динамики процентной ставки и оптимизации финансовой стратегии.

Динамика изменения процентной ставки во времени описывается случайным процессом, который удовлетворяет стохастическое дифференциальное уравнение. Основы теории стохастических дифференциальных уравнений впервые были заложены, независимо друг от друга, К. Ито и И.И. Гихман в 1947-1951рр. Со временем, методы теории стохастических дифференциальных уравнений получили своего развития и широких применений в финансовой математике при развязку язанни многочисленных задач, там рассматриваются. Этому способствовал тот факт, что дифференциал Ито (в научной литературе закрепилась именно такое название) как лучше описывает явления на финансовых рынках. Нахождение развязку связей стохастических дифференциальных уравнений, как правило, всегда является сложной задачей. Крайне редко эти развязку связки получают в явном виде. Когда это удается, то значительно повышается удобство их использования в практических целях. Поэтому успешные попытки в этом направлении очень важны и актуальны.

Другой проблемою, что привлекает к себе все большее внимание, является оптимизация финансовой стратегии на рынке ценных бумаг. Первые работы в этом направлении были эт связанные с применением методов определения оптимального момента остановки к решению связей стохастических дифференциальных уравнений. Но в дальнейшем круг применений теории оптимального управления в этой области значительно возросло. Это эт связано с необходимостью моделирования оптимальных финансовых стратегий с целью получения максимальной прибыли. Поэтому исследования и разработка методов оптимального управления для стохастических систем, описывающих различные модели рынка, актуальна и важна проблема.

Св Связь работы с научными программами, планами, темами. Работа выполнялась по плану научных исследований в рамках таких бюджетных научно-исследовательских тем Института кибернетики им. Глушкова НАН Украины: "Разработка математических методов и вычислительных алгоритмов для анализа, оптимизации и управления риском" (ВФК 130.09) "Разработать методы оценки риска и их применение в экономике, финансовой и страховой математике, теории надежности" (ВФ 130.07) "Разработать методы оптимального управления стохастическими системами с последействием для разв связи прикладных задач в экономике, экологии и технике" (ИП 130.08).

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка динамических моделей рынка и оптимальных управлений стохастическими системами.

Для достижения сформулированной цели в работе поставлены и решены следующие задачи:

разработка методов и динамических моделей определения процентной ставки ценных бумаг на финансовом рынке;

моделирования оптимальной стратегии инвестора, действующего на финансовом рынке, при наличии переменной структуры портфеля ценных бумаг;

разработка методов оптимального управления портфелем ценных бумаг для стохастических моделей, описываются цепями Маркова;

разработка методов оптимального управления риском для стохастических динамических моделей сдробным белым шумом;

нахождения условий существования оптимального управления стохастической системой, является развязку связью стохастического дифференциального уравнения с дробным винеровской полем;

Об Объект исследования акции, облигации и другие ценные бумаги, их стоимости и процентных ставок, а также динамические случайные процессы, имеющие место на биржах и финансовых рынках.

Предмет исследований стохастические динамические модели.

Методы исследования. При исследованиях в диссертационной работе применялись теория случайных процессов, теория стохастической оптимизации, методы функционального анализа, теория управляемых процессов.

Научная новизна полученных результатов. Полученные научные результаты являются новыми и такими, обобщающие существующие, а именно:

разработаны два новых методы решения Связывание нелинейных стохастических дифференциальных уравнений. Оба метода дают развязку связь в явном виде, что дает существенные преимущества при их использовании. Разработанные методы подробно продемонстрированы на конкретных примерах (задачах моделирования процентной ставки на рынке ценных бумаг);

разработан алгоритм нахождения оптимальных моментов переклю чения между N портфелями ценных бумаг на финансовом и страховом рынках в большинстве случаев выгоднее для инвестора с точки зрения максимизации прибыли, чем стратегия с одним переключением;

найдены условия существования оптимальной стратегии на финансовом рынке в классе однородных цепей Маркова. Рассмотрены случаи конечных, сочтены и компактных множеств состояний управляемой системы и множеств выбора возможных торговых стратегий;

развязку связано задачу оптимального управления стохастическими процессами и полями, которые являются развязку связями стохастического дифференциального уравнения с дробным Винеровский Процесс и полем соответственно. Найдены условия существования оптимального управления.

Практическое значение полученных результатов. Результаты, полученные в диссертации, могут иметь свое практическиее применение на реальных фондовых и финансовых рынках, биржах и в других финансовых учреждениях. Они могут также использоваться в тех областях человеческой деятельности, где стоит вопрос оптимального управления теми или иными стохастическими системами, например, в экономике, телекоммуникационных сетях и др. Предложенные методы, алгоритмы и модели могут быть доведены до пользователя через их программирования на современной вычислительной технике.

Личный вклад соискателя. В работах [2, 3, 5] проведено исследование самостоятельно, автору диссертационной работы принадлежат все теоретические результаты. В работах [1, 4, 6, 7] соавторам принадлежит постановка задачи и определение методологии для ее развязку Обязательства, а расчеты, формулировки и доказательства теорем, детальное изложение методов и алгоритмов принадлежит автору этой диссертации.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в
7 работах, из них 6 напечатано в научных профессиональных изданиях, 1 в сборнике докладов международной конференции.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников, содержит 75 наименований. Общий объем диссертационной работы 112 страниц.

содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель работы, описано научную новизну исследований и полученных результатов и их практическое значение.

Первый раздел посвящен обзору литературы по теме диссертации, обосновывается выбор дальнейших направлений исследований.

Вторая глава посвящена исследованию нелинейных стохастических дифференциальных уравнений, с помощью которых определяется короткая процентная ставка на рынке ценных бумаг. Разработаны два методы решения Связывание этих уравнений, дают развязку связь в явном виде. Эти методы продемонстрированы на конкретных примерах.

В силу того, что короткая процентная ставка, как и многие другие процессы, протекающие на рынке ценныхбумаг, является стохастическим, то общепринято считать, что его динамика задается стохастическим дифференциальным уравнением, общий вид которого такой

(1)

где r (t) стохастический процесс короткой ставки; (T, r) функция износа; (T, r) диффузия уравнения; W (t) Винеровский Процесс; Т фиксированное время платежа.

В подразделе 2.1 описан метод, основанный на применении формулы Ито и тот факт, что все уравнения, исследуются, имеют аффинную структуру своих членов.

Методом, предложенным в работе, разв связано уравнения Кокса Ингерсолл Росса, которое имеет следующий вид:

(2)

где a и являются постоянными.

Получены следующий результат.

Теорема 2.1.1. Пусть процентная ставка r удовлетворяет уравнению (2). Тогда r выглядит так:

где

.

Исследовано уравнение Халла Уайта (расширение Васичека), которое выглядит

. (3)

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 2.1.2. Пусть процентная ставка r удовлетворяет уравнению (3). Тогда r выглядит так:

где.

Рассмотрены уравнения Халла Уайта (расширение Кокса Ингерсолл Росса), что выглядит

. (4)

В работе доказано, что имеет место следующий результат.

Теорема 2.1.3. Пусть процентная ставка r удовлетворяет уравнению (4). Тогда r выглядит так:

где

.

В подразделе 2.2 предложен другой метод решения Связывание стохастических дифференциальных уравнений и продемонстрированы его на примере уравнения Кокса Ингерсолл Росса. В основу этого метода положено понятие произведения Вика, который определяется следующим образом.

Рассмотрим пространство Шварца S быстро убывающих гладких функций, и пусть S двойственный пространство. Будем считать случайные события элементами S, а тройку (S, (S),) пространством, порожденным белым шумом, гауссовской мира.

.

Пусть fL2 () случайная функция. Тогда справедливо представление

где Hn () = Hn (, n-1)многочлен Эрмита n-го порядка,

, n (x) S (R) функция Эрмита.

Кроме того.

Рассмотрим пространство

и двойственный ему пространство

.

Для элементов пространства S-1 можно ввести операцию произведения следующим образом.

Пусть

.

Тогда произведением Вика (Wick product) элементов F и G называется

.

Для неслучайных функций это обычный произведение.

Пусть.

преобразованием Эрмита функции F называется функция

(при условии, что ряд сходится).

С помощью преобразования Эрмита определяют функции в смысле Вика (Wick version) следующим образом.

Пусть XS-1 и f: UC аналитическая функция, U окрестность точки a0 = EX.

Предположим, что ряд Тейлора функции f в окрестности a0 имеет действительные коэффициенты.

Тогда функцией в смысле Вика называется

.

Иными словами, если

то

где выражение (X a0) n означает (X a0), умноженное само на себя n раз произведением Вика.

Рассмотрим более общее уравнение Кокса Ингерссолла Росса (2):

(5)

где (t) = (t,), (t) = (t,) случайные процессы.

Рассмотрим уравнение (5) как стохастическое дифференциальное уравнение в смысле Скорохода и заменим все произведения на произведения Вика, а функцию корня (квадратного) на функцию в смысле Вика.

Тогда уравнение (5) будет иметь вид:

(6)

Получены следующий результат.

Теорема 2.2.1. Предположим, что (t,), (t,) непрерывные по t S-1-процессы, а также r0S-1. Тогда развязку связью уравнения (5) в пространстве S-1 будет процесс

где (t) белый шум, а все функции являются функциями в смысле Вика.

При (t), (t), r0 () r0 развязку связь уравнения (2) примет вид:

.

Третий раздел диссертации посвящена моделированию оптимальной стратегии на рынке ценных бумаг. Рассматриваются торговые стратегии на рынке ценных бумаг и возможности перехода от одного портфеля активов к другому за определенное время. Исследована задача оптимизации стратегии с целью получения максимальной прибутку для инвестора, оперирующего на рынке ценных бумаг, при определенном начальном вкладе. Найдены оптимальные моменты переключения между тремя и более портфелями, а также условия их существования. Подраздел 3.1 посвящено определению оптимальных моментов переключения между портфелями акций с помощью теории переломных моментов остановки.

Пусть (,, P) полный вероятностное пространство, t 0, {t, t [0, Т]} растущий непрерывный дело поток -алгебр, t, = t.

Определение 3.1.1. Процесс Xt, t 0 называется Мартингал, если

1) Xt является t -вимирним t 0,

2) Е Xt & lt; t 0,

3) E (Xt / s) = Xs s t.

Определение 3.1.4. Невод емкая случайная величина = () называется моментом остановки относительно потока (t), если событие {: t} t для любого t 0.

Определение 3.1.5. Момент остановки называется предсказуемым, если существует последовательность (n) моментов остановки, удовлетворяющие следующим условиям:

1) (N) возрастающая последовательность, имеет предел,

2) n & lt; на множестве {& gt; 0} для всех n.

Определение 3.1.8. Момент остановки (м.з.) называется оптимальным для процесса Yt, если

.

Рассмотрим три финансовых портфели, состоящие из акций. Их стоимость удовлетворяет линейные стохастические уравнения

где коэффициент роста, коэффициент волатильности.

Пусть выполняются следующие предположения.

(А1) Коэффициенты и удовлетворяют условиям:

1) процесс предполагаемый и ограничен, t [0, T], i = 1, 2, 3;

2) процесс ограничен, t [0, T], i = 1, 2, 3;

3) существуют предсказуемые и ограниченные процессы такие, что

почти наверняка, t [0, T], i = 1, 2, 3.

Капитал инвестора = для каждого портфеля удовлетворяет уравнению

, причем почти наверняка, i = 1,2,3.

Пусть инвестор в момент времени t = 0 вкладывает некоторый начальный капитал = x0 в первый портфель. Затем в некоторый момент времени t = он решает реализовать свои активы и инвестировать свои деньги в другой портфель, причем пусть С цена за переключение, которую платит Инвестг. в момент переключения. Далее в момент времени t = инвестор реализует свои активы за другим портфелем и инвестирует деньги в третий портфель, при этом заплатив за переключение С. Цена за переключение пропорциональна величине капитала инвестора, т.е. С = с, где сt согласована случайная величина 0 & lt; сt & lt; 1 почти наверняка.

Определение 3.1.12. Момент остановки называется оптимальным моментом переключения для стратегии с двумя переключениями из портфеля X (1) на портфель X (2), если

момент остановки называется оптимальным моментом переключения для стратегии с двумя переключениями из портфеля X (2) на портфель X (3), если

.

Пусть х0 положительная ограничена случайная величина (0-мерная).

Предположим, что х0 = 1, а коэффициенты и удовлетворяют следующим условиям:

1) ;

2) .

Итак, имеем задачу самофинансируемым стратегии с двумя переключениями

.

Целью инвестора является максимизация величины

.

Загрузка...

Страницы: 1 2 3






Ещё Рефераты по вашей теме

Биоэкологических ОСОБЕННОСТИ пихты белой (ABIES АLBA Mill.) В лесных биогеоценозов Прикарпатье (ГЕНЕЗИС, ВОССТАНОВЛЕНИЕ, ПРОГНОЗ) - Автореферат
Парамагнитные дефекты в оксидах кремния с нанокристаллитов и карбиде кремния p-типа - Автореферат
Возникновение и проявление посттравматического стрессового расстройства у РАБОТНИКОВ ОРГАНОВ ВНУТРЕННИХ ДЕЛ В УСЛОВИЯХ выполнения миротворческой миссии ООН (на примере бывшей Югославии) - Автореферат
УКРАИНСКАЯ Народно-трудовой ПАРТИЯ: БОРЬБА ЗА ГОСУДАРСТВЕННУЮ НЕЗАВИСИМОСТЬ И СОБОРНОСТЬ УКРАИНЫ. 1919-1924 ГОДЫ. - Автореферат
Становление СИСТЕМЫ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА УКРАИНЫ В 1917-1920 ГОДАХ (УКРАИНСКАЯ ЦЕНТРАЛЬНАЯ РАДА, гетманат П. Скоропадского, Директории УНР) - Автореферат
МАРКЕТИНГОВЫЕ КОММУНИКАЦИИ В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ РЫНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬЮ ПРЕДПРИЯТИЯ - Автореферат
ПРАВООХРАНИТЕЛЬНЫЕ ОРГАНЫ МЕХАНИЗМЕ ГОСУДАРСТВА УКРАИНА (Теоретико-правовые вопросы функционирования) - Автореферат