Реферат на тему:


Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск






Загрузка...

Реферат на тему:

Гетероскедастичность

Обнаружение гетероскедастичности и ее природа

Рассмотрим классическую линейную многофакторную модель

Как всегда,

Для применения МНК при оценке параметров модели ранее были сформулированы основные предположения, которые на практике могут нарушаться.

В предыдущем разделе рассматривался особый случай многофакторного регрессионного анализа, связанный с проблемой мультиколлинеарности. Теперь рассмотрим другой особый случай, касающийся устойчивости дисперсии каждой случайной величины щ (гомоскедастичность остатков).

Определение 5.1. Если дисперсия остатков стала для каждого наблюдения, то это явление называется гомоскедастичность

Если это предположение не удовлетворяется в каком-то отдельном случае то есть Гетероскедастичность (ошибки и. Некоррелированные, но имеют неустойчивые дисперсию).

Определение 5.2. Если дисперсия остатков изменяется для каждого наблюдения или группы наблюдений, то это явление называется е-тероскедастичнистю

Рассмотрим вопрос о целесообразности предположение и о том, что происходит, если это предположение не удовлетворяется.

Прежде всего заметим, что сущность предположение о гомоскедас-тичность заключается в том, что вариация каждой случайной составляющей ина-в круг ее математического ожидания не зависит от значения факторов х

Вид гетероскедастичности зависит от знаков и значений коэффициентов в зависимости

В прикладных исследованиях, как правило, используют удобное предположение, а именно в случае простой линейной регрессии Гетероскедастичность имеет форму

Последствия нарушения предположения о гомоскедастичность

1) не могут быть стандартное отклонение параметров у 2 регрессии, а следовательно, невозможно оценить значимость параметров;

2) невозможно построить доверительный интервал для прогнозных значений в;

3) полученные по МНК оценки параметров регрессии не эффективны (не имеют малейшего дисперсии).

Отметим, что есв несмотря на Гетероскедастичность мы будем использовать обычные процедуры проверки гипотез, то выводы могут быть неверными. Понятно, Гетероскедастичность является существенной проблемой, а потому нужно уметь с выяснять ее наличие.

Тестирование наличии гетероскедастичности

Как и в случае мультиколлинеарности, единых правил обнаружения гетероскедастичности нет, а есть различные тесты (критерии): критерий ц, параметрический и непараметрический тесты Гольдфельда - Квандта, тест Глейсер, тест ранговой корреляции Спирмана и др. Рассмотрим лишь некоторые из них.

Заметим, что иногда в ходе проведения эконометрических исследований Гетероскедастичность угадывается интуитивно или выдвигается как абсолютное предположение:

Например, изучая бюджет семь й, можно заметить, что дисперсия остатков растет в соответствии с ростом дохода. Итак, первый шаг к обнаружению гетероскедастичности - глубокий анализ содержания исследуемой проблемы.

Кроме того, существует графический метод тестирования наличии гетероскедастичности, основанный на установлении наличия систематического н связи квадратов остатков регрессионной модели, построенной на основе предположения об отсутствии гетероскедастичности (графический анализ).

Параметрический тест Гольдфельда Квандта

Замечания. 1. Этот тест применяется к большим выборок. 2. Тест предполагает нормальное распределение и независимость случайных величин и ..

1-й шаг:

наблюдения (выходные данные) упорядочить в соответствии с величиной элементов вектора х., Который может повлечь изменение дисперсии остатков.

2-й шаг:

отбросить наблюдений, расположенных внутри векторов исходных данных

3-й шаг:

построить две модели на основе обычного МНК по двум созданными совокупностями наблюдений объемом при условии, что где т - количество переменных.

4-й шаг:

найти сумму квадратов остатков S1 и S2 по первой и второй моделями:

где щ и и2 - остатки соответственно по первой и другой моделям.

5-й шаг:

рассчитать критерий который в случае выполнения гипотезы о гомоскедастичность отвечать распределения с

степенями свободы;

значение критерия f сравнить с табличным значением F-критерия при выбранном уровне значимости а и соответствующих степенях свободы;

Примечание: чем больше значение Г, тем больше Гетероскедастичность остатков.

Непараметрический тест Гольдфельда Квандта

Этот тест основан на установлении количества пиков значений остатков после упорядочения (ранжирование) наблюдений зал ... Если для всех значений переменной остатки распределяются примерно одинаково, то дисперсия их однородная и Гетероскедастичность отсутствует. Если она изменяется, то Гетероскедастичность присутствует.

Отметим, что этот тест не вполне надежный для проверки на Гетероскедастичность. Однако он очень простой и часто используется для первой оценки наличия гетероскедастичности множества наблюдений.

Тест Глейсер

Проверка на Гетероскедастичность базируется на построении регрессионной функции, характеризующей зависимость величины остатков по модулю от объясняющей переменной х-, которая может вызвать изменение дисперсии остатков.

Аналитическая форма регрессионных функций может иметь вид \ u \ = а 0 + а1х., \ U \ = а 0 + а1х-1, \ u \ = а 0 + а1х12 и т.д.

Решение об отсутствии гетероскедастичности остатков принимается на основе значимости коэффициентов а0 а1. Преимущество этого метода заключается в возможности различать случай чистой и смешанной гетероскедастичности. В зависимости от этого нужно использовать различные матрицы S.

Поскольку явление гетероскедастичности д связано с тем, что меняются дисперсии остатков, а ковариация между ними отсутствует, то матрица S в соотношении должно быть положительно определенной и диагональной.

Пример. Проверить гипотезу об отсутствии гетероскедастичности для построения модели, которая характеризует зависимость сбережений от доходов населения. Статистические данные приведены в таблице.

Разрешния. Идентифицируем переменные: в - сбережения, х - доход. Специфицирует модель в виде

где u - стохастическая составляющая модели.

Для проверки гипотезы об отсутствии гетероскедастичности остатков модели применим параметрический тест Гольдфельда - Квандта.

1-й шаг:

наблюдения упорядочим по возрастанию по величине дохода (вектор х), который может повлечь изменение дисперсии остатков.

2-й шаг:

отбросим с наблюдений внутри вектора исходных данных, где

с =%, п-количество элементов вектора х Итак,

получим две совокупности наблюдений объемом 184 = 7 Первая совокупность наблюдений

Вторая совокупность наблюдений

3-й шаг:

построим две модели на основе обычного МНК по двум соз-ренимы совокупностями наблюдений

4-й шаг:

найдем сумму квадратов остатков S1 и S2 по первой и второй моделями:

где u1 и u2 - остатки соответственно по первой и второй моделями. 5-й шаг:

рассчитаем критерий

который в случае выполнения гипотезы о гомоскедастичность отвечать ^ -распределение

степенями свободы;

значение критерия f сравним с табличным значением F-критерия при уровне значимости б = 0,05 и соответствующих степенях свободы

табл = Д0,05; 5) = 5,05.

Итак, МНК-оценки параметров регрессионной модели могут применяться для дальнейших исследований.

Трансформация исходной модели

Рассмотрим вопрос устранения гетероскедастичности трансформацией исходной модели.

Предположим, что по статистическим данным построено начальную регрессионную модель и на базе любого теста установлено наличие гетероскедастичности

Для устранения гетероскедастичности начальную модель меняют (трансформируют) так, чтобы ошибки были постоянную дисперсию:

Трансформация модели сводится к изменению начальной формы модели методом, который зависит от специфической формы гетероскедастичности, то есть от формы зависимости между дисперсиями остатков и значениями независимых сминных

Рассмотрим возможные случаи трансформации модели на примере простой линейной регрессии. Пусть начальная модель где компоненты случайного вектора и гетероскедастических, но соответствуют другим классическим предположением линейной регрессии.

Рассмотрим такие случаи.

Случай 1. Предположим, что Гетероскедастичность имеет форму

где k = const (то есть дисперсия остатков растет пропорционально х2). Из предположения следует

Это означает, что трансформация модели заключается в делении исходной модели.

Итак, трансформированная модель имеет вид

Отметим, что параметр при переменной 1Д. в трансформированной модели является пересечением (свободным членом) исходной модели, тогда как пересечение трансформированной модели является наклоном начальной.

Итак, новая случайная величина модели имеет конечную постоянную дисперсию k2. Таким образом, модель имеет гомоскедастичну случайную переменную, означает правомерность применения классического МНК для расчета неизвестных параметров трансформированной модели.

Случай 2. Предположим, что Гетероскедастичность имеет форму

где k = const (то есть дисперсия остатков растет пропорционально х). Из предположения следует

Итак, трансформированная модель имеет вид

Рассмотрим

Итак, для трансформированной модели случайная величина у = гомоскедастична с постоянной дисперсией k2. Это означает, что, выполнив указанное выше преобразования, мы исключили Гетероскедастичность. Случай 3. Предположим, что Гетероскедастичность имеет форму

(дисперсия растет пропорционально квадрату линейной функции от х). Из предположения следует

Допустимая трансформация заключается в делении начальной модели на

Итак, трансформированная модель имеет вид

Рассмотрим

Итак, новая случайная величина является гомоскедастичною с постоянной дисперсией k2.

Общий случай. Предположим, что Гетероскедастичность имеет форму

Отметим, что такая трансформация эквивалентна применению взвешенного метода наименьших квадратов (ЗМНК), который является случаем обобщенногометода наименьших квадратов (УМНК). Суть ЗМНК заключается в минимизации взвешенной суммы квадратичных отклонений

Отметим также, что ЗМНК, примененный к исходной модели, дает такие же результаты, что и МНК, примененный к трансформированной модели.

Утверждение. Оценки трансформированной модели имеют меньшую дисперсию (эффективные), чем оценки, полученные с применением МНК к исходной модели.

Наконец, нужно памяти закладку, что Гетероскедастичность может существовать за счет неучтенных факторов (плохой спецификации модели). В этом случае возможным решением является включение неучтенных факторов в модель. Слепое применение трансформации (без анализа причин гетероскедастичности) сделает гомоскедастичною случайную переменную, однако оценки параметров останутся неправильными из-за неучета важных факторов.

Оценка параметров многофакторной регрессионной модели на основе обобщенного метода наименьших квадратов

Рассмотрим подробнее общий случай оценивания параметров модели с гетероскедастичными остатками.

Запишем обобщенную многофакторную регрессионную модель в мат-ческих виде где в вектор-столбец зависимой переменной размерности (n х 1);

X - матрица независимых переменных размерности (nх (m + 1))

a - вектор-столбец неизвестных параметров размерности ((m + 1) х 1);

u вектор-столбец случайных ошибок размерности (n х 1).

Пусть выполняются все предположения классической линейной многофакторной модели, за исключением предположения о гомоскедастичность ошибок. Если в модели (5.16) применить обычный МНК, полученная оценка параметров будет несмещенной, обоснованной, однако не эффективной (не имеет малейшего дисперсии среди несмещенных эти-нок).

При наличии гетероскедастичности для оценки параметров модели целесообразно применить обобщенный метод наименьших квадратов (метод Эйткена), вектор оценки которого имеет вид

Вектор a содержит несмещенную линейную оценку параметров модели, имеет наименьшую дисперсию и матрэти тесты базируются на нормальном законе распределения.

Список использованной литературы

Грубер И. Эконометрика: Введение в множественной регрессии и эконометрии: В 2 т. - М: Началова, 1998-1999.

Джонстон Дж. Эконометрические методы. & Mdash; М .: Статистика, 1980. 444 с.

Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. & Mdash; М .: ИНФРА-М, 1997. - 402 с.

Дрейпер П., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. & Mdash; М .: Финансы и статистика, 1986. Т. 1 365 с; Т. 2 379 с.

Емельянов А. С. Эконометрия и прогнозирование. & Mdash; М .: Экономика, 1985. - С. 82-89.

Елейко В. Основы эконометрики. & Mdash; Львов: "Марка Лтд", 1995. 191с.

Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Введение в количественный экономический анализ. & Mdash; М .: Статистика, 1977. 254с.

Королев А. А. Эконометрика: Учеб. пособие. & Mdash; К Европейский ун-т, 2002. - 660 с.

Ланге О. Введение в эконометрию. & Mdash; М .: Прогресс, 1964. 360 с.

Лукьяненко I. Г., Красникова Л. И. Эконометрика: Учебник. & Mdash; М .: Т-во "Знание", КОО, 1998. - 494 с

Магнус Я. Г., Катышев П.К., Пересецкий А. А. Эконометрика: Учеб. курс. - М .: Дело, 1997. - 248 с.

Маленво Э. Статистические методы эконометриы. & Mdash; М .: Статистика, 1975. - 423 с.

Наконечный С. I., Терещенко Т .А., Романюк Т. П. Эконометрика: Учеб. пособие. - К: КНЭУ, 1997. - 352 с.

Тинтнер Г. Введение в эконометрию. & Mdash; М .: Статистика, 1965. 368 с.

Толбатое Ю. А. Эконометрика: Учебник. для студ. экон. спец. высш. учеб. закл. & Mdash; К .: Четвертая волна, 1997. 320 с.

Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометриы. & Mdash; М .: Статистика, 1978. - 224 с.

Хэш Д. Причинный анализ в статистических исследованиях. & Mdash; М .: Финансы и статистика, 1981. 224 с.

Венецкий И. Г., Венецкая В. И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе: Справочник. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Статистика, 1979. — 448 с.

Винн Р., Холден К. Введение в прикладной эконометрический анализ. — М: Финансы и статистика, 1981. — 294 с.

Геец В. М. Отраслевое прогнозирование: методологический и организационный аспекты. — К.: Наук, думка, 1990. — 120 с.

Гранберг А. Г. Динамические модели народного хозяйства. — М.: Экономика, 1985. — 204 с.

Гранберг А. Г. Статистическое моделирование и прогнозирование. — М.: Финансы и статистика, 1990. — 378 с.

Загрузка...