Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск
Вхід в абонемент


Интернет реклама УБС






Математические основы исчисления тарифных ставок

Понятие случайной величины. Страхование возникает там, где существуют явления и процессы случайной природы. Поэтому боль-шесть величин, рассматриваемых в страховании, случайно-ми величинами. С математической точки зрения случайная величина - это переменная, которая может принимать определенные значения с определенной вероятность-ностью.

Случайная величина полностью описывается своей функцией распределения. Функцией распределения случайной величины в (или инте-игровой функцией) называется функция, которая каждому числу х ставит в соответствие вероятность того, что в, примет значение, меньше х:

.

Функция Fо (x) определена при всех значениях аргумента x и имеет следующие свойства:

если х <у, то Fо (x) Fо (y)

Fо (+) = l

Fо (+) = 0

P {aоb} = Fо (b)-Fо (a).

Среди случайных величин можно выделить два основных ти-пи - дискретные и абсолютно непрерывные.

Дискретной называется случайная величина, которая может на-бывать конечного или счетного множества значений. Дискретными являются, например, такие величины: количество исков (страховых случаев) в текущем году количество договоров, которые будут заключены страховщиком.

Если функция распределения Fо (x) случайной величины в можно

представить в виде

где ро (х) - некоторая неотъемлемая функция, то случайная величина в называется абсолютно непрерывной, а функция ро (х) - плотные-стью распределения случайной величины в. Абсолютно непрерывные-ми можно считать, например, величина будущих доходов стра-Ховик, а также длительность ожидания между двумя последовательными страховым случаям.

Числовые характеристики случайных величин. В страховой практике, как правило, нас интересуют не сами случайные величины, а некоторые их числовые макрохарактеристик. Важнейшими из них являются математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание (его называют также средним или ожиданиям значению) - это средневзвешенное по ймовирнис-ю значение случайной величины. Для дискретных случайных величин математическое ожидание вычисляется формуле:

М [о] =

где хи - значение, которых приобретает случайная величина; ре - вероятностей их реализации. Для абсолютно непрерывных случайных вели-чин математическое ожидание подается так:

М [о] =

где ро - плотность случайной величины в. Если случайная вели-чина неотъемлемая (0 о), математическое ожидание можно вычисли-ти по формуле:

М [о] =.

Для любых постоянных a, b и случайных величин в, же выполняются следующие свойства математического ожидания:

М [а] = а

М [bо] = BМ [о]

M [в + ж] = М [ж] + М [о].

Дисперсия характеризует отклонение случайной величины в от ее среднего значения и вычисляется как математическое надежде-ния квадрата отклонения этой величины от и математического дне ния:

.

Дисперсия удовлетворяет следующие соотношения:

где а, b - произвольные постоянные; о, - случайная величина. Если слу-кова величина неотъемлемая, дисперсию можно вычислить по формуле.

Наряду с дисперсией часто используют производные понятия - стандартное отклонение и коэффициент вариации. Стандартным или среднеквадратичным, отклонением называют корень ква-дратний с дисперсии:

Отношение стандартного отклонения случайной величины в, к модулю математического ожидания называется коэффициентом вариации.

.

Для случайной величины в, квантиль уровня а (или б-квантиль) называется величина ta, которая при заданном значении доверия-ной вероятности бы является корнем уравнения

.

Независимость случайных величин. Случайные величины в тот же называются независимыми, если по известному значению величины в, нельзя сделать никаких выводов относительно значения же, и наоборот, значение никак не влияет на осведомленность с величиной в. Формально случайные величины в тот же называются независимыми, если при любых значениях а и b вероятность события р {в <а, ж

Если случайные величины не удовлетворяют приведенную только условие, то они называются зависимыми. Примером зависимых случайных величин является количество исков и суммарный размер вы-плат. Отсутствие исков означает отсутствие выплат. Пусть из количество исков (количество выплат) в текущем году, в - отвечает видна сумма выплат у страховщика. Пусть с вероятностью 10% в тече-ние года выплат в Страховщик не Этот факт можно записать несколькими способами:

Итак, Р {с <1, в <1 грн}> Р {в <1 грн} Р {с <1}. Это означает, что вы-случаях величины с и в, зависимы. Независимыми случайными вели-чинами могут считаться, например, количества исков по различным видам страхования.

Приведем два важных свойства. Если случайные величины в тот же независимы, то для них выполняются следующие соотношения:

Статистические оценки. Часто у нас нет информации о ре-альной распределение случайной величины в, но есть некоторое совокупность ность наблюдений, в результате которых она принимает значения х1, х2, х3, ..., хn. Эта совокупность значений называется выборкой, а величины

и

соответствии выборочным (эмпирическим) средним и несмещенной выборочной (эмпирической) дисперсией. Выборочное среднее ис-пользуют для оценки математического ожидания:

несмещенной выборочная дисперсия является оценкой дисперсии случайной

величины:

Принципы исчисления тарифных ставок. В актуарной прак-тике используются самые разнообразные методы вычисления и-тарифной ставок. Все они базируются на принципе эквивалентности финансовых обязательств страхователя и страховщика. Но пара-Докс заключается в том, что не существует единого взгляда на то, как фону-мачиты этот общепризнанный принцип страхования. Рассмотрим наиболее распространенные подходы к трактовке принципа эквивалентности.

Эквивалентность финансовых обязательств как эквивалент-ность ожидаемых значений. Обязательства страхователей поля-состоят в уплате страховых премий. Обязательства страховщика опла-чивать иски страхователя. Пусть р означает сумму собранных страховщиком премий, Х-суммарные выплаты страховщика. Естественно считать, что справедливой платой за риск страховщика является дне-ване (среднее) значение случайной величины X:

В таком виде принцип эквивалентности довольно часто ис-зуется в страховании жизни и некоторых других отраслях массо-вого страхования.

Эквивалентность обязательств с точки зрения теории разорения.

Обязательства страхователей имеют безусловный характер. Ку-пуючы полис, страхователь освобождает себя от риска несподива-ных расходов. Расходы страховщика, наоборот, непредсказуемы. Страховщик берет на себя риск, который заключается в том, что его вы-платы будут значительно больше М [Х]. Поэтому страховщик вправе тре-пруди дополнительной платы за ущерб - рисковую надбавку L, с этой точки зрения подтверждается соотношение:

Возникает вопрос: какими должны быть размеры рисковой над надбавки L и страховой премии р? Чтобы ответить на него, целесообразно обратиться к теории разорения.

Факт разорения страховщика описывается соотношением U + р

Итак, если страховщик пытается достичь вероятности ро-зорення бы, то он должен обеспечить размер страховых премий р и кем,


Страницы: 1 2