Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск
Вхід в абонемент


Интернет реклама УБС






1. Введение

Теория булевой алгебры берет свое начало от классического письма Джорджа Буля. Из исследований законов мышления, на которых основаны математические теории логики и теория вероятности ", изданного в 1954 году. Цель и задачи книги автор сформулировал так: "В предложенном для рассмотрении трактате мы пытаемся подражать фундаментальные законы тех операций, которые осуществляет ум при мысли, чтобы выразить их в символьной языке исчисления и на этой основе построить науку логики и ее метод". Налидуючы такие постановки Джордж Буль совершил на созданном алгебраизации такой логической системы, которая лежит в основе классических математических рассуждений. Таким образом возникла алгебраическая решетка названа сегодня алгеброй Буля или булевой алгеброй.

Булева алгебра имеет тесные связи со многими важными направлениями математической науки. Общетеоретическое и прикладное значение булевой алгебры определяют той существующей ролью, которую она играет в математической логике, теории вероятности и кибернетике.

Примером булевой алгебры в алгебре множеств служит сокупнисть всех подмножеств некоторой фиксированной непустого множества Х, которую обозначают символом Р (Х). Во булевыми операциями подразумевают операции объединения А? В, сечение А С и дополнения Х \ А. Нулем в Р (х) является пустое множество, которую обозначаем а единицей Х.

Рассмотрим теорию вероятности.

Фундаментальным понятием теории вероятности оказываются события и вероятности. Под событиями понимаем элемент А множества Х. Сокупнистю всех событий есть поле множеств, т.е. элементы булевой алгебры Р (Х), причем эти элементы сами оказываются булевой алгеброй. Заметим, что если А и С - событие, то А С, А С и Х \ А тоже оказываются событиями. Каждому событию А приписывается некоторое число Р (А), названное вероятностью события А. Выполняются следующие свойства:

1) 0 Р (А) 1, Р () = 0, Р (Х) = 1

2) Если А? С =, то Р (А С) = Р (А) + Р (С).

Рассмотрим алгебру высказываний.

Во высказываниями понимают повествуя предложение, для которой в данный момент однозначно решаются вопросы о его истинности или ложности. В алгебре высказываний существуют знаки: v,,,, названные пропозициональной связями.

Коньюкциею - высказываний А и В называем высказывания А ^ В, будет истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.

Дизьюмкциею - высказываний А и В называются высказывания АvВ, в которой будет истина тогда и только тогда, когда истинное хотя бы одно из высказываний.

импликации - высказываний А и В называется такое высказывание АВ, которое будет ложное тогда и только тогда, когда А истинно В - ложно.

Отрицание высказывания А называется сложное высказывание А, которое будет истинно тогда и только тогда, когда А - ложное и ложным, когда а - истинно.

Формулы А и В называются эквивалентными, если две импликации АВ и ВА тождественно истинные. Множество всех формул исчисления высказываний является булевой алгеброй, если отождествить эквивалентные формулы. Булево дополнение при этом определяется отрицанием. Роль единицы играют тождественно - истинным высказыванием.

Рассмотрим алгебру электрических цепей разорванных у контактных включателя. Контакт может находиться в двух состояниях: замкнутом и разомкнутом. Для цепи тоже возможны два состояния: пропускает ток или не пропускает ток. Две цепи отождествляются, если в них контакты можно поставить во взаимно однозначное соответствие так, что при одном и том состоянии соответствующие контакты сами цепи находятся в одинаковом состоянии.

Обозначим через 1 цепь, всегда пропускает ток, а через 0 - цепь который не пропускает ток. Введем операции над цепями. Во суммой СvД двух цепей понимают цепь, мы получим в результате параллельного соединения С и Д. В результате мы получим такое соединение, при котором СvД пропускает ток в том и только том случае, когда его пропускает хотя бы один из цепей. Произведением Д ^ Д цепей С и Д называют цепь, получаемого в результате их последовательного соединения. Это означает, что С ^ Д пропускает ток только тогда, когда пропускают ток цепи С и Д. Для цепи С символом С * означает такую цепь который пропускает ток только в том случае, когда С не пропускает ток.

Электрические цепи при вводе операций и отождествление создают булеву алгебру.

2. Понятие и определение

Определение. Множество Х называется упорядоченной, если для некоторых пар ее элементов х и у определено отношение порядка так, что виконються свойства:

х х (рефлексивность)

если х в и в z, то х z (транзитивность)

если х в и в х, то х = z (антисимметричность), для произвольных элементов х, у, z с Х.

Пусть А будет частью Х. Элемент х называют ограниченным снизу для множества А, если х у, ограничения сверху, если х в для всех в с А. Элемент аА называется наибольшим элементом множества А, если аА и ха, если х а для всех х из А, то а называется наименьшим элементом множества А.

Если в множестве которая ограничена снизу существует наибольший элемент, то его называют инфимум обозначают inf (A).

маленький элемент множеств ограниченных сверху называют СУПРЕМУМ обозначают sup (A).

Определение. Упорядоченная множество Х називаетиься решеткой, если произвольная пара элементов х и у из Х имеет как инфимум так и супремум. Обозначают так: х v у = sup {х, у} и х ^ у = inf {х, у}.

Определение. Решетка Х называется дистрибутивной, если (хvу) ^ z == (х ^ z) v (у ^ z), для любых х, у, z.

Рассмотрим в решетке Х наибольшие и наименьшие элементы. Самым элементом назовем 1, а наименьшим 0. Если для каждого элемента х существует такой элемент х *, что х v х * = 1 и х ^ х * = 0, то Х называют решеткой с дополнениями, причем каждый элемент имеет одно дополнение.

Определение. Булевой алгеброй называется дистрибутивная решетка с единицей и нулем, в которой для каждого элемента существует дополнение.

Определение. Булева алгебра называется полной, если каждое множество принадлежащей ей имеет супремум и инфимум.

Теорема 1.1. Любая не пустая сокупнисть подмножеств некоторого множества, обладает двумя свойствами

а) если А, В есть, то А? В есть.

б) если А есть, то А '= \ А есть упорядоченная по включением булева алгебра.

Доказательство


Страницы: 1 2 3 4 5 6 7