Реферат на тему:


Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск






Загрузка...
Теория булевой алгебры берет свое начало от классического письма Джорджа Буле

1. Введение

Теория булевой алгебры берет свое начало от классического письма Джорджа Буля. Из исследований законов мышления, на которых основаны математические теории логики и теория вероятности ", изданного в 1954 году. Цель и задачи книги автор сформулировал так: "В предложенном для рассмотрении трактате мы пытаемся подражать фундаментальные законы тех операций, которые осуществляет ум при мысли, чтобы выразить их в символьной языке исчисления и на этой основе построить науку логики и ее метод". Налидуючы такие постановки Джордж Буль совершил на созданном алгебраизации такой логической системы, которая лежит в основе классических математических рассуждений. Таким образом возникла алгебраическая решетка названа сегодня алгеброй Буля или булевой алгеброй.

Булева алгебра имеет тесные связи со многими важными направлениями математической науки. Общетеоретическое и прикладное значение булевой алгебры определяют той существующей ролью, которую она играет в математической логике, теории вероятности и кибернетике.

Примером булевой алгебры в алгебре множеств служит сокупнисть всех подмножеств некоторой фиксированной непустого множества Х, которую обозначают символом Р (Х). Во булевыми операциями подразумевают операции объединения А? В, сечение А С и дополнения Х \ А. Нулем в Р (х) является пустое множество, которую обозначаем а единицей Х.

Рассмотрим теорию вероятности.

Фундаментальным понятием теории вероятности оказываются события и вероятности. Под событиями понимаем элемент А множества Х. Сокупнистю всех событий есть поле множеств, т.е. элементы булевой алгебры Р (Х), причем эти элементы сами оказываются булевой алгеброй. Заметим, что если А и С - событие, то А С, А С и Х \ А тоже оказываются событиями. Каждому событию А приписывается некоторое число Р (А), названное вероятностью события А. Выполняются следующие свойства:

1) 0 Р (А) 1, Р () = 0, Р (Х) = 1

2) Если А? С =, то Р (А С) = Р (А) + Р (С).

Рассмотрим алгебру высказываний.

Во высказываниями понимают повествуя предложение, для которой в данный момент однозначно решаются вопросы о его истинности или ложности. В алгебре высказываний существуют знаки: v,,,, названные пропозициональной связями.

Коньюкциею - высказываний А и В называем высказывания А ^ В, будет истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.

Дизьюмкциею - высказываний А и В называются высказывания АvВ, в которой будет истина тогда и только тогда, когда истинное хотя бы одно из высказываний.

импликации - высказываний А и В называется такое высказывание АВ, которое будет ложное тогда и только тогда, когда А истинно В - ложно.

Отрицание высказывания А называется сложное высказывание А, которое будет истинно тогда и только тогда, когда А - ложное и ложным, когда а - истинно.

Формулы А и В называются эквивалентными, если две импликации АВ и ВА тождественно истинные. Множество всех формул исчисления высказываний является булевой алгеброй, если отождествить эквивалентные формулы. Булево дополнение при этом определяется отрицанием. Роль единицы играют тождественно - истинным высказыванием.

Рассмотрим алгебру электрических цепей разорванных у контактных включателя. Контакт может находиться в двух состояниях: замкнутом и разомкнутом. Для цепи тоже возможны два состояния: пропускает ток или не пропускает ток. Две цепи отождествляются, если в них контакты можно поставить во взаимно однозначное соответствие так, что при одном и том состоянии соответствующие контакты сами цепи находятся в одинаковом состоянии.

Обозначим через 1 цепь, всегда пропускает ток, а через 0 - цепь который не пропускает ток. Введем операции над цепями. Во суммой СvД двух цепей понимают цепь, мы получим в результате параллельного соединения С и Д. В результате мы получим такое соединение, при котором СvД пропускает ток в том и только том случае, когда его пропускает хотя бы один из цепей. Произведением Д ^ Д цепей С и Д называют цепь, получаемого в результате их последовательного соединения. Это означает, что С ^ Д пропускает ток только тогда, когда пропускают ток цепи С и Д. Для цепи С символом С означает такую цепь который пропускает ток только в том случае, когда С не пропускает ток.

Электрические цепи при вводе операций и отождествление создают булеву алгебру.

2. Понятие и определение

Определение. Множество Х называется упорядоченной, если для некоторых пар ее элементов х и у определено отношение порядка так, что виконються свойства:

х х (рефлексивность)

если х в и в z, то х z (транзитивность)

если х в и в х, то х = z (антисимметричность), для произвольных элементов х, у, z с Х.

Пусть А будет частью Х. Элемент х называют ограниченным снизу для множества А, если х у, ограничения сверху, если х в для всех в с А. Элемент аА называется наибольшим элементом множества А, если аА и ха, если х а для всех х из А, то а называется наименьшим элементом множества А.

Если в множестве которая ограничена снизу существует наибольший элемент, то его называют инфимум обозначают inf (A).

маленький элемент множеств ограниченных сверху называют СУПРЕМУМ обозначают sup (A).

Определение. Упорядоченная множество Х називаетиься решеткой, если произвольная пара элементов х и у из Х имеет как инфимум так и супремум. Обозначают так: х v у = sup {х, у} и х ^ у = inf {х, у}.

Определение. Решетка Х называется дистрибутивной, если (хvу) ^ z == (х ^ z) v (у ^ z), для любых х, у, z.

Рассмотрим в решетке Х наибольшие и наименьшие элементы. Самым элементом назовем 1, а наименьшим 0. Если для каждого элемента х существует такой элемент х , что х v х = 1 и х ^ х = 0, то Х называют решеткой с дополнениями, причем каждый элемент имеет одно дополнение.

Определение. Булевой алгеброй называется дистрибутивная решетка с единицей и нулем, в которой для каждого элемента существует дополнение.

Определение. Булева алгебра называется полной, если каждое множество принадлежащей ей имеет супремум и инфимум.

Теорема 1.1. Любая не пустая сокупнисть подмножеств некоторого множества, обладает двумя свойствами

а) если А, В есть, то А? В есть.

б) если А есть, то А '= \ А есть упорядоченная по включением булева алгебра.

Доказательство

Загрузка...

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7