Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск
Вхід в абонемент


Интернет реклама УБС






1. Классическое, геометрическое и аксиоматическое определение вероятностей.

Пусть пространство элементарных событий является конечным множ., причем предполагается, что все элементарные события являются равновозможны. Элементарной событием наз. любой неделимый результат эксперимента. Есть

озн. Вероятностью события А наз. отношение кол-ва всех элементарных событий, которые способствуют появлению А к общей кол-ва всех элементарных. событий. Р (А) =, где m-кол-во элементарных. событий, которые способствуют А, n-общее кол-во всех элементарных. событий.

Свойства

  1. A 0
  2. P (A)
  3. 1 /Р (А) =
  4. 0
  5. m
  6. n-очевидно. Отсюда 0
  7. 1 /.
  8. P (
  9. ) = 0. /P (
  10. ) =
  11. = 0 /. и Р () = 1, /
  12. /.
  13. A
  14. B, ТОP (A)
  15. P (B). A
  16. B
  17. . P (B) = P (
  18. ). Поскольку
  19. -несовместимы, то P (
  20. ) = P (A) +
  21. . P (B) = P (A) +
  22. , поскольку
  23. 0. (см. св-во 1) P (B) = P (A) +
  24. P (A).
  25. если А и В несовместимы, то есть A
  26. B
  27. 0, то P (А + В) = P (A) + P (B). N (A) кол-во элементарных. событий, которые способствуют А, N (В) - кол-во элементарных. событий, которые способствуют В

N (A + B) = N (A) + N (В) (*). A = {}, B = {}. Последнее равенство (*) является символьной записью правила суммы в комбинаторике. Разделим последнюю р-во на n-заг. кол-во всех элементов.

Следствия из 4-й: 1) Если А1 ... Аn - попарно-несум-нет, то P (A1 + .. + An) =

2) Для любой вып.-го события А => P (A) + P () = 1

Недостатки: 1.Кому применяется к экс-ов, в которых кол-во элем-х событий является конечным. 2.Все элем-ни события предположительно должны быть равновозможны, а это незав-ди так.

Геометрическое определение вероятности. Для геометрического ОЙ предполагаем, что кол-во точек в некоторой мн-ни пространства Rn прямопроп-на в меру этой множ. Пусть пространство элем-х событий. Рассмотрим произвольную подмножество A в пр-ре элем-х событий которая является случайной величие-й. По предположениям, C-коэф-т проп-е, Р () = 1, С =

Пусть-пространство элементарных. событий. Рассмотрим - случайное событие. (Любой результ. Эксперимента). Вероятность того, что случайная точка выбрана из пространства элементарных. событий принадлежит множе А равна отношению меры множ А в меру Лебега пространства элементарных. событий.

Мерой Лебега на прямой (n = 1) является длина, на пл-не (n = 2)-площадь, в пр-ре (n = 3) - объем.

П-ды: зад Бюффона (бросают иглу), с самолета сбросили груз упал между дор-мы зн-м

3 Аксиомы теории вероятностей

Пусть-пространство элем-х событий. Предположим, что в выделена с двумя F пидмн., Которая является-алгеброй. Это означает, что 1) F

2) если AF, то = \ AF 3) если A и F, (i = 1, 2, ...), то.

замечания. FF, AB =

С двумя пидмнож. F некоторой множ наз. -Алгеброй, если викон.вище написанные в-е.

Ймов-ю заданной на мерном пр-ре () наз-ся числовая ф-Р, заданная на-алгебре F и которая зад-е: 1)

2), 3) А1, ... Аn ..

2. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формула Бернулли.

Пусть в некотором эксп-е опыт-ся событие А, которое может наступить в рез-те появления одной из n событий Н1, Н2, ..., Нn (Ни F, i = 1, 2, ..., n), которые образуют полную группу (ПГ) попарно несум-х под, если: P (H1 + .. + Hn) = P (H1) + .. + P (Hn) = 1 - ПГ попарно нес-х под.

По выше приведенных условий вероятность П.А. может быть найдена по формуле-й ПЙ:

.

ФПЙ содержит столько слагаемых, сколько событий H1 .. Hn (это гипотезы).

Д: Оск-ки, то, причем все слагаемые в правой части есть попарно-несовместимые =>

Формула Байеса. Пусть некоторое событие А может наступить только при условии появления одного из гипотез, образуют. полную группу попарнонесумисних событий. Пусть известно, щодослиджувана событие А уже произошло, тогда для апостериорной переоценки вероятности гипотез викоритс.

Дол С следствия теоремы умножения вероятностей имеем. Запишем эту теорему для двух событий Очевидно получим Подставим вместо P (A) формулу ПЙ.

Схема Бернулли: Пусть некоторый эксперимент проводят n раз, в каждом из проведенных экспериментов исследуется одна и та событие, вероятность которого неизменна. Появление события А мы называем успехом, появление неудачей. Появление успеха или неудачи никоим образом не зависит от количества появлений успеха и неудач в предыдущих проведенных экспериментах, т.е. эксперименты независимы. Такая схема наз схеме Бернулли

Формула Бернулли:

где k - число появлений успеха вероятность которого мы находим, n - количество независимых испытаний, р-и речи появлений успеха, q = 1-p - и речь-во неудачи

дов. Предположим, что проведено n независимых испытаний, причем успех наступит первых k раз, а неудача следующие nk. А - успех.

По теореме умножения независимых событий имеем:

Чтобы учесть все возможные комбинации появления успеха k вдруг в n испытаниях последнюю формулу надо умножить

- биномиальное распределение, обладает Влас-ю

3. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее св-ва.

Случайной величиной называют такую величину принимающей числовые значения и причем какое из своих случайная величина примет предсказать невозможно. Можно считать, что случайная множество является функция заданная на пространстве элементарных событий и принимающей числовые значения.

Пусть задано вероятностное пространство (Щ, S, P (А)), где Щ-пр-р элем-х событий, S-мн-на всех событий (д-алгебра подмен-н в нем), P (а ) - ймов-во каждой из тех событий. же, из случайные величины.

Случайной величиной наз-ся такая ф-я: Щ> R, которая принимает числовые значения и такая, что для каждого хr {} F.Ця ф-наз-ся измеримым относительно-алгебры F, w & ndash ; множество.

Ф-распределения ВВ В каждой точке х ф-раз-лу = ймов-е того, что ВР примет зна-ния

Свойства функции распределения:

1) с помощью ф-и распределения можем найти йм-во того что ВР принадлежит пивинтер-лу [а; b] P {aж


Страницы: 1 2 3