Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск
Вхід в абонемент


Интернет реклама УБС






инвариантность

Выше мы рассмотрели некоторые системы координат и их связь между собой, допускаю, что пространство является евклидовым. Насколько евклидова геометрия может быть справедливо для физических явлений, можно судить только из экспериментальных данных. На сегодня по крайней мере для классической механики в области пространства с характерными размерами L из интервала
10-13см << L << 1028см мы можем на основе экспериментальных данных говорить, что евклидова геометрия может быть применена к физическим явлениям. Вследствие этого мы можем сформулировать некоторые выводы:

а) Инвариантность по отношению к параллельному переносу. Под этим понимается, что пространство однородно и не меняется от точки к точке при таком движении. Другими словами. если тела перемещаются без поворота, то их свойства не изменяются.

б) Инвариантность по отношению к повороту. С опыта известно с большой точностью, что пространство является изотропным, так что все направления эквивалентны и физические тела не изменяются при повороте. На рисунке 1.5 проиллюстрированы указанные инвариантности и приведены примеры неинвариантности в гипотетическом мире, в котором при этих движениях могут частности, меняться форма и размеры тел.

Ниже инвариантности обусловливают фундаментальные законы сохранения.

Оставаясь в таком инвариантной по отношению к параллельному переносу и повороту мире рассмотрим в котором инерциальные системы, движущиеся друг относительно друга без ускорения (в том числе и без нормального; есть). Ради простоты допустим, что система В движется с постоянной скоростью относительно системы А так, что оси х и х 'лежат на одной прямой и направлены одинаково, и кроме того в момент времени начала координат обеих систем совпадают (рис. 1.6).

Тогда, если в момент времени t некая точка М имеет координаты х ', у', t 'в системе В, то ее координаты в системе А будут:

 |

(1.25)

Первое уравнение (1.25) не содержит t ', потому что в классической механике полагают, что время абсолютно, т.е. t = t'.

Формулы (1.25) носят название преобразования Галилея для координат. С преобразования Галилея следует закон сложения скоростей и правило преобразований для ускорений:

(1.26) (1.27)

Мы видим, что при преобразовании координат всегда можно указать же физические величины, которые остаются неизменными (инвариантными) при таком преобразовании. Такие величины называются инвариантами. Например, при преобразованиях Галилея, координаты, скорость (а значит импульс и кинетическая энергия и т.п.) - есть варинтни, а ускорение, и время - инвариантные. В этом контексте рассмотрим, что будет твориться с законами сохранения импульса и энергии как кинетической так и полной.

Если движение некоторой системы тел (частиц) рассматриваем относительно инерциальной системы отсчета А, то при переходе к другой инерциальной системы В изменится количество движения и кинетическая энергия (они есть вариантные): если через - обозначить скорость в системе А1, а через - в системе В одной частицы, то

(1.28)

Из соотношений (1.25) - (1.26) четко также следует, что ускорение - инвариант, а также и силы - инвариантные. ?? также следует из того, что все механические силы зависят от относительного расположения тел или их относительных скоростей. И то и другое - инварианты. Таким образом, все три закона ньоютонивськои динамики справедливы во всех инерциальных системах отсчета.

§ 4. Чотирьохвектор и интервал. Пространство Миньковского.

Напомним из курса общей физики, в релятивистской (Не ньютоновской) механике, когда скорости движения тел нельзя нельзя пренебречь по сравнению со скоростью света, которая согласно ИИ постулата Эйнштейна одинакова во всех инерциальных системах отсчета, справедливые преобразования не Галилея, а Лоренцо (рис. 1.6)

(1.29) (1.30)

Мы видим, что при преобразованиях Лоренцо меняются и координаты и время. Причем последние характеристики неотделимы друг от друга являются относительными. Но и в релятивистской механике можно найти такие величины, соотношения, которые являются инвариантными в произвольной инерциальной системе отсчета.

Первым таким инвариантом является скорость света. Нетрудно убедиться из соотношений (1.29), что вторым важным инвариантом является интервал события. Его квадрат определяется как:

Итак: (1.31)

Инвариантами, как мы уже также знаем, из курса общей физики есть масса покоя и энергия покоя.

С последнего соотношения следует, что если количество движения К в одной инерциальной системе не зависит от времени то она остается постоянной и в другой системе отсчета К ', поскольку m и константы. То есть, закон инерции справедлив во всех инерциальных системах отсчета.

Кинетическая энергия системы частиц в системе xOy будет:

Последнее равенство показывает изменение кинетической энергии при переходе от одной инерциальной системы к другой. Очевидно также, что если кинетическая энергия системы в одной инерциальной системе отсчета постоянна во времени, то она будет постоянной во времени и в другой инерциальной системе отсчета, если система частиц замкнута и между частицами действуют только упругие силы. Таким образом, закон сохранения кинетической энергии справедлив во всех инерциальных системах, если он прав в одной из них. При этом следует отметить, что количество движения изолированной системы частиц остается постоянной всегда и при недружественных взаимодействиях, а кинетическая энергия уменьшается в этом случае на одну и ту же величину в системах xOy и x'O'y '. Это уменьшение - инвариант.

Между частицами системы могут действовать силы, зависящие только от расстояния между ними и направлены по линии соединяющими их. Тогда каждая конфигурация обладает определенной потенциальной энергией U.

Если между частицами изолированной системы происходит такое взаимодействие, то закон сохранения энергии (механической) справедливый во всех инерциальных системах.

Итак мы видим, что хотя сами физические величины могут быть вариантными, но соотношение в которые они входят (или между ними) в произвольной инерциальной системе одинаковы (например или). Есть соотношение являются инвариантными.

Практическое занятие № 1

Задача 1. Закон движения точки относительно системы отсчета S имеет вид:;, где и - постоянные коэффициенты. Определить траекторию, линейную и секторную скорости а также ускорение точки относительно той же системы отсчета.

Решение: Дифференцируя по времени заданные функции, и получим проекции скорости и ускорения точки на декартовы оси

;

;

Выражая проекции ускорения через проекции радиус-вектора, убедимся в том,???????????????

;;, т.е.

Круговая скорость согласно определению:

есть секторная скорость не зависит от времени.

Наконец, исключая из функций и получим уравнение траектории

;. |

Следовательно, точка движется с постоянной секторной скоростью по эллипсу, который лежит в плоскости z = 0, причем ускорение все время направлено к центру эллипса. (Рис.


Страницы: 1 2