Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск
Вхід в абонемент


Интернет реклама УБС






Введение

Одной из задач, которые развязывает современная вычислительная математика, является проблема приближения функции одной переменной и многих действительных переменных другими функциями более простой, вообще говоря строения, которые легко вычисляются на электронно-вычислительных машинах. Другое название этой задачи - апроксимування функции. Эта задача может возникнуть, например, в случае, когда либо функция задана своими значениями в виде таблицы результатов эксперимента, или когда функция имеет сложную аналитическую строение и нахождение ее значение в некоторых точках вызывает вычислительные трудности. Так, в частности, все широко применяемые на практике функции sin (x), cos (x), exp (x), ln (x), ch (x), sh (x) и многие другие определяются при вычислениях на ЭВМ с помощью функциональных рядов или цепных дробей.

В последние годы резко возрос интерес к классическим методам рациональной аппроксимации функций. Это связано с тем, что такие аппроксимации нашли разнообразное применение в вычислительных задачах теоретической физики и механики. Нужно отметить также, что в последнее время мы становимся свидетелями позитивной тенденции, согласно которой современные математические исследования все больше и больше инициируются наиболее передовыми физическими теориями и прикладными вычислительными задачами, среди которых и попытки объединить слабые, электромагнитные, сильные и гравитационные взаимодействия в физике и проблемы эффективной компрессии аудио-визуальной информации на основании анализа спектра сигнала в вычислительной математике и еще много других не менее интересных задач.

В данной научно-исследовательской работе предпринята попытка анализа одного из прикладных методов аппроксимации функции - метода Тэчер-Тьюки на предмет его пригодности к использованию в вычислительных задачах и наличие преимуществ перед другими методами.

1. Постановка задачи интерполяции функции

Пусть действительная функция f (x) непрерывна на промежутке [a, b] и определена своими значениями в точках множества

Х = {x0, x1, ..., xn}, где Х [a, b].

Нужно найти значение функции в точке х, которая отличается от заданных. Исходя из некоторых дополнительных соображений, приближая функцию будем искать в виде

f (x) g (x,), где - некоторые параметры.

Определение 1. Если параметры определяются из условия равенства значений

, i = 0,1, ..., n

то точки называются узлами интерполяции, а такой способ приближения функции называется интерполяцией или интерполированием.

Определение 2. В случае, когда аппроксимирующую функцию выбирают в виде линейной комбинации функций из заданного множества, т.е.

(1)

то говорят о линейной интерполяции, а функцию называют обобщенным интерполяционным многочленом.

Определение 3. Если аппроксимирующая функция не может быть представлена в виде (1), то такое приближение называется нелинейной интерполяции.

Определение 4. Размер

называется остаточным членом обобщенного интерполяционного многочлена.

дальнейшем будем считать, что и, когда ij, т.е. рассматривается такая задача интерполяции, когда все узлы разные.

Выберем в - пространстве непрерывных на функций, конечное или сочтены совокупность функций, таких, что произвольное конечное система их является линейно независимой. На практике чаще всего используют такие системы функций:

,,, где - некоторая числовая последовательность.

Коэффициенты в (1) определим из условия, что приближая агрегат совпадает в узлах интерполяции со значением функции, т.е.

, i = 0,1, ..., n (2)

С (1) и (2) следует, что для нахождения коэффициентов получаем систему линейных алгебраических уравнений

и если

то при произвольных значениях, i = 0,1, ..., n система имеет единственное развязок

, (3)

где

(4)

формируется с по правилу Крамера.

Определение 5. Система функций, i = 0,1, ..., n называется системой Чебышева порядка n, если обобщенный многочлен

имеющий более чем n корней на, тождественно равный нулю, то есть для всех i = 0,1, ..., n.

Теорема 1. Для того, чтобы для произвольной функции существовал обобщенный интерполяционный многочлен для любого набора узлов, и = 0,1, ..., n, необходимо и достаточно, чтобы была системой функций Чебышева на. При выполнении этих условий обобщенный интерполяционный многочлен будет единственным.

Известно, что все три вышеприведенные совокупности функций являются системами функций Чебышева на произвольном.

Если определитель (4) развить за i-м столбиком, то (3) перепишется в виде

где, i, k = 0,1, ..., n - соответствующие алгебраические дополнения, и тогда

Если сгруппировать подобные члены при одинаковых значениях, то получим

(5)

Замечание 1. Функции не зависят от, являются линейными комбинациями и полностью определяются через них и узлы интерполяции

С (2) следует, что

(6)

2. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа

По возьмем систему функций {1, x, x2, ..., xn, ...}. На произвольном отрезке при фиксированном n функции 1, x, x2, ..., xn является линейно независимы и определитель является определителем Вандермонда. А так как по предположению xi xj, то

С (5) и (6) следует, что - многочлен n-й степени, который обращается в нуль в точках в x0, x1, ..., xi-1, xi +1, ..., xn и равен 1 в точке x0, т.е.

и

.

Откуда имеем:

Подставив значение Фи (х) в (5) получим интерполяционный многочлен в форме Лагранжа

Получим теперь формулу для остаточного члена интерполяционного многочлена в виде Лагранжа.

Теорема 2. Пусть f (x) C (n) [a, b] и существует f (n +1) (x). Тогда для произвольного х [,] имеет место следующая форма остаточного члена

(7)

где

Замечание 2. Из формулы остаточного члена (7) следует, что интерполяционный многочлен в форме Лагранжа является точным для многочленов степени n.

3. Требования к вычислительным алгоритмов

Приведенные выше формулы, определяющие N-точечную аппроксимацию, громоздки и мало пригодны для розвязування вычислительных задач. Определим кратко те требования, которые ставятся перед вычислительным алгоритмом. Численные алгоритмы для рациональных аппроксимаций можно разделить на те, с помощью которых развязывает проблему коэффициентов и те, с помощью которых развязывает проблему значений. Проблема коэффициентов заключается в определении значений коэффициентов на основании которых формируется интерполяционная функция. Проблема значений заключается в вычислении значения интерполяционной функции в указанной заранее точке z, когда не нужны промежуточные вычисления коэффициентов. Например, метод известен под названием-алгоритма развязывает проблему значений для аппроксимаций Паде, поскольку он не связан с промежуточным вычислением коэффициентов. Описанный ниже модифицированный алгоритм Тэчер-Тьюки, представляющий рациональную аппроксимацию в виде непрерывной дроби, дает решение проблемы коэффициентов. Если нужно найти некоторую таблицу значений интерполирующей рациональной функции, то часто выгоднее решить сначала проблему коэффициентов и затем вычислять значения аппроксимации в


Страницы: 1 2 3