Реферат на тему:


Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск






Загрузка...

Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Определение 1. Переменная величина х называется бесконечно ма-лой, если в процессе ее изменения наступит такой момент, начина-наючы из которого, абсолютная величина переменной х становится и оста-ся меньше любого, сколь угодно малого, наперед заданного положительного числа есть, то есть.

Бесконечно малые величины чаще всего обозначают буква-ми б, в, г.

Например, величина при бесконечно малой.

Замечание 1. Бесконечно малая величина является переменной величиной. Но, если постоянная величина О рассматривать как переменную величину, принимает одно и то же значение, то в этом смысле она является бесконечно малой, т.е. если б = 0, то неравенство | а | < вы-конуеться для любого> В

Ни другую постоянную величину, какой бы малой она ни была (например, размер электрона), нельзя назвать бесконечно малой.

Рассмотрим некоторые свойства бесконечно малых величин.

Теорема 1. Алгебраическая сумма любого конечного число не-конечно малых величин есть величина бесконечно малая.

Доказательство. Пусть задано k бесконечно малым величин б1, б2, ..., БK. Докажем, что их алгебраическая сумма (б1 ± б2 ± ... ± БK) будет величиной бесконечно мстою. Возьмем сколько угодно малое> 0. Согласно определению бесконечно малых в процессе их изменения наступит такой момент, начиная с которого будут вы-полняться неравенства:

Отсюда, используя свойства модуля, получим:

| б1 ± б2 + ... ± БK | | б1 | + | б2 | + ... + | БK | 0. Поэтому, начиная с некоторого момента, будет выполняться неравенство

Это неравенство означает, что по-а является величиной бесконечно ма-лой, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Произведение постоянной величины на бесконечно малую есть ве-личина бесконечно мала.

Следствие 2. Произведение конечного числа бесконечно малых вели-чин является величина бесконечно малая.

Действительно, постоянные и бесконечное малые величины - ограничены величины, поэтому для них имеет место утверждение теоремы 2.

Определенный 2. Переменная величина х называется бесконечно ве-ликой, если а процессе ее изменения наступишь такой момент, начина-наюча из которого абсолютная величина х становится и остается больше любого, сколь угодно большого, заранее заданного до-ного числа N, то есть> N .

Например, величина 10n при является величина бесконечно большие.

Между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами существует простая связь: если х бесконечно большая величина, то - бесконечно малая, и наоборот, если у - бесконечно малая и у0, то будет бесконечно большой величиной.

Поэтому можно доказать, что алгебраическая сумма конечного числа бесконечно больших величин будет величиной бесконечно большой, произведение бесконечно большой величины на ограниченную величину также будет бесконечно большой величиной.

Деление бесконечно малых тa бесконечно больших величин пока не определен и будет рассмотрено далее, после определения границы переменной.

Предел переменной и ее свойства

С всего множества переменных выделим такие, процесс изменения которых происходит особым образом, что позволяет назвать еде величины направляясь к границе.

Понятие границы

Определенный 3. Постоянная величина а называется пределом переменной х, если абсолютная величина разности х - а есть ве-личиной бесконечно малой, т.е. | х - а | < е.

Если число а является границей переменной х, то говорят, что х стремится к границе а и обозначают так: lim х = а или х> а.

С этого определения границы следует, что граница бесконечно лишь малой величины равна нулю, то есть lim б = 0 или а> 0.

Бесконечно большая величина х границы нет, но условно считают, что граница бесконечно большой величины есть?, т.е то | х |> ? или lim x = ±?.

Из определения 3 следует: если в процессе своего изменения переменная величина имеет предел, то одну, а сама переменная величина отличается от своей границы на бесконечно малую величину, т.е. х = а + б. Именно этот факт в математическом анализе часто используется.

Теперь рассмотрим границу разновидностей переменной - последовательности и функции

Определение 4. Число а называется пределом последовательности х1, x2, ..., хn если для любого наперед заданного, сколько угодно малого е> 0 существует такой номер N, что для всех n> N выполняется неравенство.

обозначают предел последовательности так

lиm хn = a или xn> а при n>

Заметим, что номер N зависит от е и чаще всего он сде-становится, когда есть уменьшается.

Определение 5. Число А называется пределом функции y = f (x) при x> x0, если для любого наперед заданного, сколько за-годно малого е> 0 найдется такое число> 0, что для всех x, отличных от х0 i удовлетворяющих неравенство, выполняется неравенство | f (x) - A | x0 слева, то используют следующую запись:

а число А1 называют односторонней границей функции у = f (x) слева. Если число А2 является пределом функции у = f (х) при х> х0 дело, то используют запись:

а число А2 называют односторонней границей функции у = f (х) дело. Эти предела называют односторонними.

Загрузка...

Страницы: 1 2