Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск
Вхід в абонемент


Интернет реклама УБС






Дифференциал

Понятие дифференциала тесно связано с понятием производной, и является одним из важнейших в математике. Дифференциал приближенно к равняется приращения функции и пропорциональный приращению аргумента. Вна-Вследствие этого дифференциал широко применяется при исследовании раз-номанитних процессов и явлений. Любой процесс в течение достаточно малого промежутка времени меняется почти равномерно, поэтому действительный прирост величины, характеризующей процесс, можно заменить диф-ренциалом этой величины на данном промежутке времени. Такую замену на-Зива линеаризацией процесса.

Термин «дифференциал» (от латинского слова differentia - разными-ца) ввел в математику Лейбниц.

1. Определение, геометрический и механический смысл дифференциала

Пусть функция у = f (х) дифференцируема в точке х [а; b], то есть в этой точке имеет производную

Тогда из свойства 1o (гл. 4, п. 3.6)

при х 0

откуда

(1)

Первый из слагаемых линейный относительно х и при х 0 и f '(х) 0 является бесконечно малой одного порядка с х, потому что (гл. 4, п. 4.3):

Второе слагаемое - бесконечно малая высшего порядка, чем х, потому что

Этот плагин не является линейным относительно х, то есть содержит х в степени, высшем единицы. Таким образом, первое слагаемое в формуле (1) является главной частью приращения функции, линейной относительно прироста аргумента.

Дифференциалом dy функции у = f (х) в точке х называется главная, линейная относительно х, часть приращения функции f (х) в этой точке:

dy = f '(х) х. (2)

Дифференциал dy называют также дифференциалом первого порядка. Если у = х, то в '= х' = 1, поэтому dy = dx = х, то есть диф-циал dx независимой переменной х совпадает с ее приростом х. Поэтому формулу (2) можно записать так:

dy = f '(x) dx. (3)

Формула (4) позволяет рассматривать производную как отношение диф-циала функции к дифференциала независимой переменной.

Заметим, что когда в точке х0 производная f '(х0) = 0, то перев е слагаемое в формуле (1) равен нулю и уже не является главной части-ной прироста. Но и в этом случае дифференциал dy находят по формуле (4).

Геометрический смысл дифференциала понятен из рис. 5.18. Имеем

PN = y, QN = MNtg = ХF "(x) = f '(x) dx = dy.

Итак, дифференциал функции f (х) при заданных значениях х и х до равняется прироста ординаты касательной к кривой у = f (х) в точке х. Приращение функции y при этом равен приросту ординаты кривой. Таким образом, замена приращения функции на ее дифференциал геометрически означает замену ординаты АР кривой ординатой касательной AQ. Понят-ло, что такая замена целесообразна только для достаточно малых значений х.

Выясним механический смысл диф-циала. Пусть материальная точка движется-ется по известному закону

S = f (t), где f (t) - дифференцируема на некотором про-межко функция. Тогда дифференциал этой функции dS = f '(t) при фиксированных значениях t и - это тот путь, который прошла бы материальная точка за время, если бы она двигалась прямолинейно и ров-номирно с постоянной скоростью. Понятно, что фактический путь S в случае неравномерного движения на от-мину дифференциала dS не является линейной функцией времени и поэтому отличается от пути dS. Однако если время достаточно мал, то скорость движения не успевает существенно измениться, и поэтому движение точки на промежутке времени от t до t + почти равномерным.

Понятие дифференциала можно проиллюстрировать и на других примером крышу, которые рассмотрены в п. 1.1. В каждом из них понятия дифференциала приобретает конкретное физического смысла.

2. Свойства дифференциала. Инвариантность формы дифференциала

Поскольку дифференциал функции дoривнюе произведению ее производной на дифференциал независимой переменной, то свойства дифференциала можно легко получить из соответствующих свойств производной. Если, например, и и v - дифференцируемы функции от х, С - стала, то есть такие правила нахождения дифференциалов:

d (u ±) = du ± d

Докажем, например, четвертую формулу. По определению диф-циала имеем

d (uv) = (uv) 'xdx = (u'v + uv') dx - = Vu'dx + uv'dx = vdu + udv.

Особенно важен вывод следует из правила дифференциацией ния сложной функции. Пусть у = f (х) = f ((t)) - составлена функция с промежуточным аргументом х = (t) и конечным аргументом t, причем функции f (х), (t) дифференцируемы в точках х и t. Тогда существует производная y't = y'xx't, а следовательно, и дифференциал

dy = y'tdt = y'xx'xdt = y'xdx. (5)

Сравнивая формулы (4) и (5), видим, что первый дифференциал функции

у = f (х) определяется по одной и той же формуле независимо от того, переменная х является независимой переменной, или она функ-цией другой переменной.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменным-ностью) формы дифференциала. Однако следует заметить, что формулы (4), где х - независимая переменная, и (5), где х - зависимая переменная, одинаковые только на вид, а содержание их различен: если в формуле (4) ах = Ал:, то в формуле (5)

dx = x '(t) dtx.

3. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Как уже отмечалось, прирост y функции у = f (х) в точке х можно приближенно заменить дифференциалом dy в этой точке: ydy. Во-ставившим сюда значение y и dy, получим

(6)

Абсолютная погрешность величины y - dy является при х 0 бесконечно малой высшего порядка, чем x, так как при f '(х) 0 величины y и dy эквивалентны (гл, 4, п. 4.3):

Оценка (точность) формулы (6) при фиксированных значениях х и Дя выяснена в п. 5.2.

Иногда пользуются приближенной равенством

f (х + х) f (х). (7)

Если функция у = f (х) дифференцируема в точке х, то абсолютная по-шаткая формулы (7) приближенно равно абсолютной величине ди-ференциала:

Относительная погрешность формулы (7) определяется по формуле

Примеры

1. Найти дифференциал функции у = ln sin 2х: а) при произвольных значениях х ix; б) при х =; в) при х = и x = 0,1.

О а) Пользуясь формулой (4), находим

dy = (ln sin 2x) 'dx = 2 ctg 2xdx

б) в)

2. Сравнить прирост y и дифференциал dy функции у = х3 + 2x2.

О Находим


Страницы: 1 2 3