Реферат на тему:


Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск






Загрузка...

Реферат

на тему:

"Гипербола"

Определение 1. Геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, является постоянной величиной, называется гиперболой.

- каноническое уравнение гиперболы.

Исследуем форму гиперболы.

1. Найдем точки пересечения с осями.

OX: y = 0,,, A (a, 0), B (-a, 0).

OY: x = 0,,.

Определение 2. Точки A и B называются вершинами гиперболы.

2. На вид уравнения следует, что линия симметрична относительно осей OX, OY и начала координат.

3. .

Следовательно, кривая расположена вне прямоугольника со сторонами 2а и 2b.

Построим эту кривую.

Определение 3. Параметр a называется действительной полуосью гиперболы, а параметр b называется мнимой полуосью.

Определение 4. Прямые называются асимптотами гиперболы.

При росте х гипербола неограниченно приближается к асимптот.

Определение 5. Отношение фокусного расстояния гиперболы до ее действительной оси называется эксцентриситетом.

.

Определение 6. Кривые эллипс, гипербола, окружность называются кривыми второго порядка с эксцентриситетом, причем для окружности, для эллипса и для гиперболы. При гипербола вырождается в две параллельные прямые.

Задачи с гиперболой

Задача 1. Найти каноническое уравнение гиперболы.

1 шаг. Строим чертеж в соответствии с условиями задачи. По определению имеем две точки - фокусы. Отметим эти точки на одной горизонтали, назовем их. Проведем через эти точки прямую линию. Эта линия будет осью ОХ. С середины отрезка проведем перпендикуляр. Это будет ось OY. Таким образом мы ввели систему координат и теперь каждая точка на плоскости имеет координаты.

2 шаг. Возьмем текущую точку, т.е. лежащую на гиперболе.

3 шаг. Делаем необходимые геометрические построения: соединяем отрезками прямых точку М с фокусами.

4 шаг. Свяжем алгебраическим выражением координаты текущей точки М (x; y) с данными по определению гиперболы. Обозначим расстояние (фокусное расстояние) через 2с. По определению гиперболы разность расстояний от точки М до фокусов есть величина постоянная независимо от того, где на гиперболе находится точка М. Обозначим это расстояние через 2а

Распишем расстояние по формуле (1). Для этого мы должны знать координаты фокусов (координаты точки М - (х, у)). Т.к. расстояние то фокусы имеют координаты Тогда по формуле (1) имеем:

Подставив эти выражения в равенство (17), получим:

.

Этим уравнением связаны координаты текущей точки М (х, у) с данными задачи. Следовательно, оно является уравнением гиперболы.

5 шаг. Упростим полученное выражение, дважды возведя его в квадрат и обозначив через

(11)

Ввиду громоздкости выкладок приводить их не будем. Получим:

Мы получили каноническое уравнение гиперболы. Для нее как и для эллипса существует понятие эксцентриситета, что обозначается буквой (эпсилон) и характеризует степень сплющености гиперболы. Эксцентриситет вычисляется по формуле:


Построение гиперболы.

Строим прямоугольную систему координат. На оси ОХ от начала координат откладываем влево и вправо отрезки а (произвольной длины). А на оси OY - отрезки b. Через точки на осях проводим прямые, параллельные осям координат. Получили прямоугольник со сторонами 2а и 2b. Проведем диагонали прямоугольника. Они называются асимптотами гиперболы. Ветви гиперболы сколь угодно близко приближаются к асимптотам, но не пересекают их. Вершины гиперболы находятся на расстоянии а от начала координат влево и вправо.

 Построим ветви гиперболы. Расстояние АВ = 2а - называется действительной осью гиперболы, CD = 2b - мнимой осью гиперболы. Из равенства (11) следует, что, т.е. с> 0 = ОК и фокусы будут располагаться внутри осей гиперболы.

2. Построить гиперболу и определить ее фокусы и эксцентриситет.

Решение: Чтобы построить гиперболу, надо знать параметры а и b, а для этого уравнения гиперболы надо привести к каноническому виду, т.е.

Итак,.

Строим прямоугольную систему координат, на оси ОХ откладываем влево и вправо от начала координат отрезки 4,2 на оси OY вверх и вниз - отрезки 2,1. Проводим прямые, параллельные осям координат, получаем прямоугольник со сторонами 8,4 и 4,2. Проведем диагонали этого прямоугольника, это асимптоты гиперболы, чертим ветви гиперболы.

Найдем фокусы. Координаты фокусов. Для нахождения с воспользуемся соотношением (11).

Координаты фокусов:

Найдем эксцентриситет гиперболы:

. Эксцентриситет гиперболы всегда больше 1.

Литература:

Математика. Учебник. - К., 2000.

Математический словарь-справочник. - К., 2001.

Загрузка...