Реферат на тему:


Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск






Загрузка...

Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Изменение величина х называется бесконечно малой, если в процессе ее изменения наступит такой момент, начиная с которого, абсолютная величина переменной х становится и остается меньше любого, сколь угодно малого, заранее задуманного дополнительного числа, то есть | х | < .

Бесконечно малые величины чаще всего обозначают буквами.

Например, величина при n является бесконечно малой.

Бесконечно малая величина является переменной величиной. Но, если постоянную величину О рассматривать как переменную величину, принимает одно и то же значение, то в этом смысле она является бесконечно малой, т.е. = 0, то неравенство | | < выполняется для любого> 0.

Ни другую постоянную величину, какой бы малой она ни была (например, размер электрона), нельзя назвать бесконечно малой.

Рассмотрим некоторые свойства бесконечно малых величин.

Теорема 1. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

Доказательство. Пусть задано k бесконечно малых величин. Докажем, что их алгебраическая сумма будет величиной бесконечно малой. Возьмем сколько угодно малое> 0. Согласно определению бесконечно малых в процессе их изменения наступит такой момент, начиная с которого будут выполняться неравенства:

Отсюда, используя свойства модуля, получим:

Итак, имеем:

Это неравенство, по определению 11 означает, что является бесконечно малой величиной. Теорема доказана.

Теорема 2. Произведение ограниченной величины на бесконечно малую величину есть величина бесконечно малая.

Доказательство. Пусть в - ограничена величина, - бесконечно малая. Для ограниченной величины в существует такое число М, что. Согласно определению бесконечно малой в процессе изменения наступит такой момент, начиная с которого будет выполняться неравенство для любого. Поэтому, начиная с некоторого момента, будет использоваться неравенство

Это неравенство означает, что является величиной бесконечно малой, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Произведение постоянной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.

Следствие 2. Произведение конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

Действительно, постоянно и бесконечно малые величины - ограничены величины, поэтому для них имеет место утверждение теоремы 2.

Переменная величина х называется бесконечно большой, если в процессе ее изменения наступит такой момент, начиная с которого абсолютная величина х становится и остается больше любого, сколь угодно большого, заранее задуманного положительного числа N, т.е. | x |> N.

Например, величина 10n при n является величина бесконечно большая.

Между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами существует простая связь: если х бесконечно большая величина, то - бесконечно малая, и наоборот, если у - бесконечно малая и в 0, то будет бесконечно большой величиной.

Поэтому можно доказать, что алгебраическая сумма конечного числа бесконечно больших величин будет величиной бесконечно большой, произведение бесконечно большой величины на ограниченную величину также будет бесконечно большой величиной.

Деление бесконечно малых и бесконечно больших величин пока не определен и будет рассмотрено далее, после определения границы переменной.

Загрузка...