Реферат на тему:


Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск






Загрузка...

Выпуклые множества

В курсе "Математическое программирование" и в некоторых экономических исследования используются понятия выпуклой линейной комбинации векторов и выпуклой множества.

Сначала ознакомимся с понятием выпуклой линейной комбинации векторов.

Пусть на плоскости заданы точки А1 и А2, определяющие отрезок А1А2, изображенный на Рисунке 1. Найдем радиус-вектор произвольной точки М этого отрезка через радиусы-векторы 1 и 2 точек А1 и А2.

Векторы

коллинеарны и одинаково направлены, поэтому они пропорциональны. Итак, существует такое t, что:

Отсюда получим:

Если обозначить 1 - t = t1, t = t2, то последнее равенство примет вид

(1)

(2)

Определение. Выпуклой линейной комбинацией векторов 1 и 2 называют комбинацией (1) этих векторов при условии (2).

Уравнение (1) с условием (2) можно понять как векторное уравнение отрезка А1А2.

Определение. Выпуклой линейной комбинацией k n-мерных векторов называют комбинацию

(3)

при условиях

(4)

Например. Линейная комбинация, имеет

поэтому она выпуклая.

Определение. Выпуклым множеством называется множество, две произвольные точки которой определяют отрезок, принадлежащий этом множестве.

Отрезок, полупрямой, прямая, угол меньше 1800, круг, полуплоскость, куб, тетраэдр, шар - выпуклые множества.

На рисунке 2 изображены различные множества. В случаях а) - с) эти множества выпуклые, в случаях d) - е) они невыпуклые.

Определение. Предельной точкой множества называют такую точку, в окрестности которой, сколь угодно малого радиуса с центром в этой точке, есть точки, принадлежащие множеству, и есть точки, не принадлежащие множеству.

Границей множества называется совокупность всех ее граничных точек.

Множество, которой принадлежит ее граница, называется замкнутой.

Выпуклые замкнутые множества бывают ограниченными и не ограниченными. Множество называется ограниченной, если существует такое число с> 0, что расстояние произвольной точки М множества от начала координат ограничено, то есть | ОМ | < 0.

Определение. Выпуклая замкнутая множество в n мерном пространстве, имеет конечное число угловых точек, называется выпуклым n мерной многогранна множеством, если она не ограничена.

Угловые точки называют вершинами, отрезки, соединяющие две соседние вершины, называют ребрами.

Определение. Опорной прямой многоугольника в двумерном пространстве называется прямая, имеющая с многоугольник, расположенным по одну сторону от нее, по крайней мере одну общую точку.

Опорная прямая с многоугольник может иметь общую вершину или ребро.

Последние понятия обобщаются на случай n мерного пространства.

Определение. Опорной гиперплоскостью выпуклой замкнутой множества n мерного пространства называется гиперплоскость, что с этой множеством, расположенной по одну сторону от нее, хотя бы одну общую точку.

Опорная гиперплоскость с множеством может иметь общую вершину, ребро или грань.

Загрузка...