Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск
Вхід в абонемент


Интернет реклама УБС






Векторная алгебра и некоторые ее применения.

Векторы.

Определение 1. Вектором называют величину, которая характеризуется не только своим числовым значением (длиной), но и направлением.

Векторы обозначают или или а, b, c.

При обозначении вектора двумя буквами (например,) первая буква указывает точку начала вектора, а вторая - точку его конца. В экономике векторы часто обозначают одной большой буквой.

Длину (модуль) вектора обозначают,.

Геометрически вектор изображают как направленный отрезок (см. рис.1)

Рис.1

Изображенные на этом рисунке векторы имеют длину

если единица масштаба:.

нулевым вектором называют вектор, начало и конец которого совпадают.

Такой вектор обозначают, его длина равна нулю, а направление - произвольный.

Равными называют векторы, которые имеют одинаковые длины и направления:.

коллинеарных называют векторы, которые расположены на одной прямой или параллельных прямых (см. рис.2)

Рис.2

Все изображенные на рисунке 2 вектора - коллинеарны.

Противоположными называют коллинеарны противоположно направленные векторы одинаковой длины.

Вектор, противоположный вектору обозначают.

ортом вектора называют вектор 0 длина которого равна единице, а направление совпадает с, т.е. = 0.

планарный называют векторы, лежащие в одной плоскости. В экономических исследованиях n упорядоченных параметров рассматривают как вектор n мерного пространства Еn.

Матрица-строка и матрица-столбец содержат упорядоченные элементы, поэтому их можно рассматривать как векторы пространства соответствующего измерения.

Например, есть Е5 является Е4

Элементы вектора-строки и вектора-столбца называют координатами вектора. Смысл такого названия объясним ниже, после определения проекций вектора на координатной оси.

Некоторые экономические примеры.

В разделе 4 части 5 приведены примеры применения векторов к задачам микроэкономики.

Так, использовались вектор-строка стоимости V = (v1, v2, v3, v4), компоненты которого - стоимости различного сырья, топлива, рабочей человеко-часа, и вектор-столбец потребностей других отраслей к продукции цехов 1, 2, 3.

Сейчас познакомимся с другими примерами применения векторов.

Продуктивная функция. При анализе закономерностей производства используется производительная функция, которая, по сути, представляет собой соотношение между использованными в производстве ресурсами и выпущенной продукцией.

Пусть в некотором производственном процессе n производственных ресурсов. Количество i-го ресурса, используемого за промежуток времени t, обозначим хи. Тогда производственные ресурсы - это вектор Х = (х1, х2, ... хn).

Пусть предприятие выпускает m различных изделий. Количество j изделия обозначим уи. Тогда выпуск всех изделий будет вектор Y = (y1, y2, ... ym). Пусть - вектор параметров производства (например, различные виды транспортных или других расходов). Продуктивная функция связывает векторы ресурсов Х, выпуска Y и параметров, то есть

Продуктивная функция задается аналитически или таблично.

продуктивный функцию, развязанную относительно Y, т.е. вида

называют функцией выпуска, а развязанную относительно вектора Х, то есть вида

называют функцией производственных затрат.

Понятно, что эти функции в конкретных случаях (если указано законы и) используют правила действий с векторами.

Математические модели экономических задач

Даже простейшие линейные статистические экономические модели описываются с использованием векторов.

Для исследования динамических моделей различных процессов состояние изучаемой экономической системы в момент времени t описывается с помощью вектора Х с n мерного пространства, а управление процессом в тот же момент времени описывается с помощью вектора с m мерного пространства.

Таким образом, в динамических моделях используются векторы n и m измеримых пространств, координаты которых зависят от времени t.

1.3. Координаты векторов

Сначала напомним понятие числовой оси и систем координат. Числовой осью называют прямую, на которой определено:

  1. направление ()
  2. начало отсчета (точка 0)
  3. отрезок, который принимают за единицу масштаба.

Две взаимно перпендикулярные числовые оси с общим началом отсчета (точка 0) называют прямоугольной декартовой системой координат на плоскости (в двухмерном пространстве Е2).

Три взаимно перпендикулярные числовые оси с общим началом отсчета (точка 0) называют прямоугольной декартовой системой координат в пространстве (в трехмерном пространстве Е3).

На Рисунке 3 изображены:

а) прямоугольная декартова система координат на плоскости

b) прямоугольная декартова система координат в пространстве.

a) b)

Рис.3

Ось 0х называют осью абсцисс; 0в - ось ординат; 0z - ось аппликат. Орт оси 0х обозначают, орт оси 0у - вектор, орт оси 0z - вектор.

Благоустроенная пара чисел (х, у), соответствует точке М плоскости х0у, называется декартовыми прямоугольными координатами точки М, это обозначают М (х, у).

Благоустроенная тройка чисел (х, у, z), что соответствует точке М пространства 0zух, называется координатами точки М декартовой прямоугольной системы координат в пространстве, это обозначают М (х, у, z).

Заметим, что существуют другие системы координат на плоскости и в пространстве.

Дадим понятие проекции вектора на ось. Пусть задан вектор и ось l. Из точек А и В опускаем перпендикуляры на ось l. Получим точки А1 и В1 - проекции точек А и В.

Определение 2. Проекцией вектора на ось называется длина вектора, взятой со знаком "+", если направление совпадает с направлением оси и со знаком "-", если направления противоположны (см. Рис.4).

обозначают: ПР1.

Определение 3. Углом между двумя векторами (или между вектором и осью) называют наименьший угол между их направлениями при условии, что векторы сведены к общему начала (см. Рис.4).

а) b)

Рис.4.

Найдем ПР1:

В случае а) имеем: ПР1 =

В случае b) имеем:

ПР1 =

Таким образом, проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью.

Определение 4. Координатами называются проекции вектора на оси координат.

Пусть вектор имеет координаты ах, ау, аz есть = (ах, ау, аz) и образует с осями координат углы тогда

ах = | |, АY = | |, аz = | |

, называют направляющими косинуса вектора. Из предыдущих формул имеем:

Рассмотрим вектор, где М1 (х1, y1) - начало вектора, М2 (х2, y2) - конец вектора (див.Мал.5). в этом случае

есть координаты вектора - это упорядоченная пара чисел (х2 - х1; y2 - y1).

Аналогично получаем, что координатами вектора в пространстве будет упорядочена тройка чисел (х2 - х1; y2 - y1; z2 - z1).

Рис.5

Итак, можно сформулировать правило:

Координаты вектора равны разнице соответствующих координат конца и начала вектора.

Например,


Страницы: 1 2