Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск
Вхід в абонемент


Интернет реклама УБС






Действия с векторами.

Определение. Суммой двух векторов и называют вектор, соединяющий начало вектора с концом вектора при условии, что начало вектора помещены в конец вектора.

Например, заданные векторы и (рис. 6а). Для построения суммы этих векторов перенесли параллельно самому себе, в его конец поместить начало вектора и соединили начало вектора с концом вектора (Рис.1).

а) b)

Рис.1

Сумма нескольких векторов,, ..., определяют аналогично: начало каждого следующего вектора помещают в конец предыдущего. Получают ломаную линию и тогда вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего и является суммой этих всех векторов.

Замечания. Разность двух векторов и строят как сумму вектора и вектора (-).

Например,

Рис.7

Определение. Произведением вектора на число k называют вектор, коллинеарный с вектором, имеет длину в k раз больше, чем та направление такой же, как, если k> 0 и противоположное, если k < 0.

Определение. Скалярным произведением векторов и называют число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и обозначают, или (,).

Итак, согласно определению:

=

(1)

Теперь рассмотрим действия с векторами, заданными в координатной форме.

Правило умножения вектора на число.

Чтобы умножив вектор на число k, надо все координаты вектора умножив на число k, то есть k =

Правило нахождения алгебраической суммы векторов.

Координаты алгебраической суммы конечного числа векторов равны такой же алгебраической сумме соответствующих координат этих векторов.

Так, в случае алгебраической суммы трех векторов:

,

их алгебраическая сумма находится по формуле

=

Нахождение скалярного произведения векторов и

Согласно правилу умножения матриц получим:

=

(2)

есть скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

Если =, тогда угол между ними равен нулю, и из формулы (1) следует, что.

Отсюда получаем, или учитывая формулу (2)

(3)

С формулы (1) имеем:

(4)

Подставим формулы (2) и (3) в формулу (4), тогда получим формулу для нахождения косинуса угла между векторами и в виде:

(5)

Если, тогда и получим = 0 (6)

Пример. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах = (2,1,0) и = (0, -2,1).

Решение. По условию задачи параллелограмм построена на векторах и (см. Рис.2).

Рис.2

Обозначим этот параллелограмм АВСD (и - произвольные)

Итак, диогонали параллелограмма, построенного на векторах и (произвольные) будут векторы и Найдем координаты этих векторов для заданных векторов и

= (2 +0, 1 + (-2), 0 +1) = (2, -1, 1)

= (2-0, 1 - (-2); 0-1) = (2, 3, -1)

Теперь по формуле (5) можно найти косинус нужного угла, который обозначим

Из равенства следует, что, т.е. эти векторы взаимно перпендикулярны.