Реферат на тему:


Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск






Загрузка...

ПЛАН

Основы определения.

Дифференциальные уравнения и порядке.

Задача Коши.

Теорема существования и единства решения.

Экономические задачи, требующие использования дифференциального уравнения.

И. Определение. Дифференциальным уравнением называют уравнение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию в и ее производные в, в, ..., y (N).

Символично дифференциальное уравнение записывается так:

(1)

Пример: 2х + у-3у'-0; у'-4-0

Sin у'-cosх в; у'-2х - дифференциальное уравнение.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок производных, входящих в данное уравнение.

Пример: ху '+ у-2-0 дифференциальное уравнение и порядке.

в'' '+7 у'-3 в-0 дифференциальное уравнение ИИИ порядке.

Итак решением дифференциального уравнения (1) называется интегральной кривой этого уравнения. Оказывается, что уравнение (1) имеет множество решений. Семья решений зависящей от n произвольных параметров называется общий решением уравнения 1. Процесс нахождения решений уравнения (1) называется интегрированием этого уравнения. Решение уравнения (1) может быть в явном у = у (х) или в неявном - G (Х1У (х)), которая определяет решение у (х) уравнения (1) называется интегралом этого уравнения.

2. Дифференциальным уравнением первого порядка вида (2)

где у-у (х) - искомая неизвестная функция, уьу '(х) - ее производная по х,

F - заданная функция переменных х, у, у '. Если решить уравнение (2) относительно производной уьг (если это возможно), получаем (3)

Определение. Уравнение у'-f (х, у) называется уравнением первого порядка решаемой относительно производной.

Определение. Функция ц (х) является (а; а) называется решением дифференциального уравнения (3), если она имеет производную ц '(х) на (а, в) и если для любого х е) а; в) правильная равенство: ц '(х) = f (х; ц (х)) (т.е. функция ц (х), х есть (а, в) называется решением дифференциального уравнения (3), если уравнение (3) при подстановке ее вместо в превратится в тождество по х на интервале (а, в)).

Аналогично определяется решение дифференциального уравнения (2) функция ц (х) решение уравнения, а кривая, заданная уравнением у - ц (х), называется интегральной кривой.

3. Задача нахождения решения уравнения (3), удовлетворяющее условию где х0, у0 - заданные числа, называется задачей Коши. Условие (4) называются начальным условием.

Геометрически задача Коши состоит в том, чтобы найти интегральную кривую уравнения (3), которая проходит через заданную точку М0 (х0; у0).

В теориях и приложениях важное значение имеет такая проблема: сколько интегральных кривых уравнения (3) проходит через задачу точку А0 (х0; у0) области D.

4. Теорема. Пусть имеем уравнение и области D1 в которой функции f (х0; у0) и определены и непрерывны. Пусть А0 (х0; у0) - произвольная точка из области D1. Тогда существует единственное решение.

у = ц (х)

уравнения (3), который определен в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяет начальное условие ц (х0) = у0.

Пример 2. Рассмотрим уравнение

(5)

Его правая часть f (х0; у0) непрерывна при у0, то есть в верхней полуплоскости, включая ось Ох (область D'1). Функция непрерывна при у> 0, т.е. в верхней полуплоскости, исключая ось Ох (область D1). Уравнение (5) имеет семью решений:

,,, (6)

где С - произвольная постоянная. Формула (6) называется общим решением уравнения (5). Тогда у = (х + с) 2, причем х + с> Q. В полуплоскости у> 0 функция у = (х + с) 2 является решением начального уравнения, здесь х + с> 0, поэтому ч>-с.

Предположим, что через каждую точку области D1 проходит единственная интегральная кривая уравнения (2). Общим решением уравнения (2) в области D1 называется функция у = ц (х, с)

Какая: 1) является решением уравнения (2) при всех значениях произвольной постоянной

2) дает решение Коши являются произвольными начальными данными (х0, у0) из области D1 при соответствующем значение С = С0.

Геометрически решение (6) представляет собой семью пол парабол в области D1. Коежнак интегральная кривая получается с пол параболы у = х2, х> 0 сдвигом влево и вправо на оси Ох.

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что уравнение (5) имеет решение у = 0, который нельзя получить ни при каком значении произвольной постоянной С.

Решение у = 0 называется особым решением уравнения (5)

в

0 х

частных решений уравнения (2) называется решение этого уравнения при фиксированном значении величины С.

Для нахождения частных решений, соответствующий начальному условию, нужно подставить х0 и у0 в уравнение (7) и определить С = С0 из уравнения

У0 = ц (х0, С) (8)

Искомый частное решение будет иметь вид У0 = ц (х, С0). Особым решением уравнения (2) называется такой его решение, которое не может быть полученным ни при каком значении С. Таким образом, получается, что интегральная кривая, соответствующая особому решения, проходит вне области единства задачи Коши.

5. Рассмотрим некоторые задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Пример 1. Опытным путем установлено, что скорость размножения бактерий в любой момент времени положительная и пропорциональна их массе. Найти зависимость массы бактерий от времени.

Обозначим m (t) массу бактерий в момент времени t; тогда - скорость размножения этих бактерий. Согласно условию задачи скорость размножения пропорциональна массе m (t) бактерий, поэтому - km (t) (9), где k> 0. Уравнение (90 содержит искомую функцию m (t) и ее производную, поэтому является дифференциальным уравнением. Убедимся, что любая функция вида (10) где С - произвольная переменная, является решением уравнения 9.

Действительно, заменив в уравнении (9) m его значением из равенства (10) имеем

Получили тождество, следовательно, действительно функция (10) является решением уравнения (9). Так как функция m (t) - cekt означает массу бактерий в зависимости от времени t, то задача решена в общем виде (10) является общим решением уравнения (9). При этом коэффициент k зависит от вида бактерий и от внешних условий.

Если мы знаем значение k и массу то бактерий и некоторый момент времени t0, то по формуле (10) получим массу бактерий в любой момент времени t. Действительно, пусть (11)

Тогда, m0- cekt, c-m0- ce-kt следовательно (12)

Функция (11) является решением уравнения (9) и, кроме того, удовлетворяет условию (11).

Условие (11) называется начальным условием.

Таким образом, уравнение 9 имеет множество решений, а задача начального условия выделяет единственное

Загрузка...

Страницы: 1 2