Реферат на тему:


Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск






Загрузка...

Реферат:

Доказательство теорем Перрона-Фробениуса и Маркова для матриц второго порядка

Известно [[1] - [10]], какую важную роль играют неотъемлемые матрицы в математических моделях экономики, биологии, теории вероятностей и т.д..

Одними из основополагающих фактов теории этих матриц является теоремы Перрона. Перрона-Фробениуса и Маркова. Доказательство этих теорем в общем случае требует применения теорем из таких неелментарних разделов математики, как теория экстремумов функции многих переменных, жорданова нормальная форма и т.п..

Цель работы дать элементарное доказательство вышеупомянутых теорем Перрона, Перрона-Фробениуса и Маркова для матриц второго проядку, которое вполне доступно и для школьников 9 класса. Это позволит, например, на занятиях школьных математических кружков или факультативов рассмотреть и проанализировать содержательные математико-экономические и теоретико-вероятностные модели (например, модель Леонтьева, случайное блуждание на отрезке) с полным доведением всех утверждений.

Необходимые сведения из теории матриц.

Матрица размеров m x n - это прямоугольная таблица чисел с m строк и n столбцов. Сказывается матрица так:

квадратной матрицы n-го порядка называется матрица размером nx n. Важной числовой характеристикой матрицы является ее определитель, который сказывается detA. Для 2x2 матрицы. Матрицы А и В одинаковых размеров называются равными, если их соответствующие элементы одинаковы, что записывают так: А = В.

С матрицами можно осуществлять следующие операции:

Умножать на число

Пример:

Добавлять матрицы одинаковых размеров:

Пример:

Умножать матрицы:

Пример:

Вообще, произведением матрицы А размеров mxr и матрицы В размеров rxn называется матрица С размеров mxn, которая обозначается АВ. Элемент cij этой матрицы - это сумма попарных произведений элементов i-й строки матрицы А и элементов j-й строки матрицы В, а именно:

Если А и В квадратные матрицы одинакового порядка, то их всегда можно перемножить.

Квадратная матрица порядка n, в которой Элементы, а другие элементы являются нулями, называется единичной матрициею порядке n. Однична матрица имеет такое свойство: АЕ = ЕА = А, где А - квадратная матрица порядка n, Е - единичная матрица того же порядка.

Пусть А - квадратная матрица, тогда матрица А-1 называется обратной к матрице А, если

Не в каждой матрицы есть обратная к ней, а именно А-1 существует тогда и только тогда, когда.

Непосредственно можно первириты, что для

Определение: Число называется собственным значением nxn матрицы А, если знайдется столбик такой, что АХ = Х. При этом Х называется собственным вектором матрицы А, соответствующий собственному значению.

Если собственный вектор Х соответствует собственному значению, то сХ, где с - const, также собственный вектор, соответствующий. Собственное значение является корнем характеристического уравнения. Откуда видно, что не у каждой матрицы есть собственные значения.

Определение: Матрица А называется положительной, если все ее элементы положительные, это сказывается А> 0.

Теорема Перрона: Пусть А - положительная матрица, тогда А имеет положительное собственное значение r> 0 такое, что:

1. r-соответствует единственный (с точностью до умножения на число) собственный вектор.

2. другие собственные значения по модулю < r.

3. собственный вектор, соответствующий r, можно выбрать положительным (т.е. с положительными элементами).

Доказательство теоремы для 2х2 матриц.

Пусть.

Тогда.

Напишем характеристическое уравнение для матрицы А:

.

Это квадратное ривниння с дискриминантом:

этого

есть утверждение теоремы 1 и 2 доказаны, если r = 1.

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению 1 из равенства

Тогда

, или

Учитывая, что

перепишем систему в виде:

Но и поэтому уравнение системы пропорциональны, а это означает, что один из них можно отбросить.

Найдем x1 из первого уравнения системы

Чтобы доказать, что собственный вектор можно выбрать положительным, достаточно проверить, что, так как положив получим x1> 0.

Учитывая, что b> 0 нужно доказать, что

но это следует из того, что, потому что cb> 0.

Таким образом третий утверждение доказано, а с ним доказана теорема.

Определение: Матрица А n-го порядка называется неразложимой, если одинаковым перестановкой строк и столбцов ее нельзя привести к виду, где А1, А2 - квадратные матрицы размеров kxk и (nk) x (nk) соответственно. Для 2х2 матриц это означает, что и

Определение: Матрица А называется неотъемлемой, если все ее элементы неотъемлемые.

Замечание: Фробениус доказал, что утверждение теоремы Перрона остаются в силе для неразложимых неотъемлемых матриц. Это можно доказать, просто повторив наше доказательство теоремы Перрона для 2х2 матриц в случае, когда один или оба диагональных элемента равны нулю.

Определение: Квадратная матрица называется стохастической, если

1)

2)

Теорема Маркова: Пусть для стохастической матрицы P существует натуральное число k0 такое, что (то есть все элементы положительные). Тогда

1. (Существование границы матрицы означает, что существует граница каждого ее элемента)

2. Матрица - имеет одинаковые строки.

3. Все элементы этих строк положительные.

Доказательство теоремы для 2х2 матриц.

Запишем стохастическую матрицу в виде, где

Запишем ее характеристическое уравнение:

Это квадратное уравнение с дискриминантом:

этого

С учетом имеем, но если, то это значит, что p = q = 1 или p = q = 0, откуда матрица P будет иметь вид, или и тогда Pn содержит нули противоречит условию. Таким образом.

Беспосередни проверкой с учетом стохастичности устанавливаем, что собственному значению соответствует собственный вектор, где x1 = x2, то есть, например собственный вектор. Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению.

По определению

Откуда

Вспоминая, что получаем

Очевидно, что уравнения системы пропорциональны, поэтому одно из них можно отбросить. Найдем y1 из первого уравнения: или откуда, но, поскольку в противном случае данная матрица должна вигяди: и тогда матрица должна нулевой элемент, противоречит условию. Поэтому можно записать, что

Докажем теперь утверждение 1 теоремы.

Рассмотрим матрицу S, столбцами которой являются собственные векторы матрицы P. Нам необходимо получить удобную формулу для Pn.

Обозначим.

Оскилко, то существует S-1. Перепишем уравнения и в матричной форме

или.

Откуда и вообще

Найдем границу Pn

Утверждение 1 теоремы доказано.

Докажем теперь, что строки матрицы одинаковы. Для этого обчиcлимо.

Поскольку, то Мы видим, что строки матрицы - одинаковые. Докажем теперь, что их элементы положительные. Для этого

Загрузка...

Страницы: 1 2