Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск
Вхід в абонемент


Интернет реклама УБС






???

По дисциплине "Высшая математика"

???: 4 "???? ???? ???? "

Н? ??

"????? ? ????? ????. ????? ????. ????? ? ???? ??? ?????. ??? ????? ????? "

План

Наибольшее и наименьшее значения функций в заданной области.

Контрольные вопросы

Что называется экстремум функции.

Какая необходимое условие экстремума функции.

Какая точка называется стационарной.

Какие достаточные условия экстремума функции

Литература

Соколенко А.И. Высшая математика: Учебник. - М.: Издательский центр "Академия", 2002. - 432с.

Определение. Пусть функция f (x; y) определена в некоторой окрестности точки (a, b). Точка (a, b) называется точкой минимума (максимумом) этой функции в точке (a; b), если существует такой окрестность точки (a; b ), что для всех точек (x; y) по этому окрестности, отличных от точки (a; b), выполняется неравенство f (a; b)

Точки минимума и максимума функции называют ее точками екстрему, а максимум и минимум функции в точке - ее экстремум в этой точке.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если точка (a; b) является точкой экстремума функции f (x; y) и если в этой точке существуют частные производные функции по переменным x и y, то эти производные равны 0:,.

Докажем, например, что. Для доказательства зафиксируем значение переменной y, положив y = b. Получим функцию z = f (x, b) одной переменной х, что в точке х = а экстремум и производную, которая является частью производной. Согласно теореме Тейлора эта производная функции одной переменной равно 0. Таким образом,. Равенство устанавливается аналогично.

Точка пространства R2, в которой существуют обе частные производные какой-то функции двух переменных, каждая из которых равна нулю, называется стационарной для этой функции.

Теорема утверждает, что все точки экстремума функции двух переменных, которая имеет частные производные по обеим переменным в некоторой области пространства R2, образуют подмножество множества ее стационарных точек.

Теорема (достаточные условия экстремума). Пусть функция f (x; y) в некоторой окрестности своей стационарной точки (a; b) имеет непрерывные в этой части производные второго порядка.

Если, то точка (a; b) является точкой экстремума функции f (x; y), причем точкой минимума, если, и точкой максимума, если. Если же, то точка (a; b) не является точкой экстремума функции f (x; y)

Пример:

Исследовать на экстремум функции.

Эта функция определена и имеет непрерывные все части производные первого и второго порядков в R2. Ее частные производные первого порядка имеют вид.

Стационарные точки функции определяем из системы

, которая равносильна системе

Итак, исследуемая функция имеет четыре стационарные точки: (-2, 1), (2, -1), (-2, -1), (2, 1). Находим частные производные второго порядка:

.

Вычислив значение

Получим

Таким образом, точки (-2, -1), (2, 1) являются точками экстремума заданной функции. Поскольку точка (-2, -1) является точкой максимума функции, а точка (2, 1) - точкой минимума. Осталось найти экстремумы: максимум функции f (x; y) в точке (-2, -1) составляет f (-2, -1) = 21, а минимум в точке (2, 1) - f (2,1) = -19