Реферат на тему:


Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск






Загрузка...

Реферат

на тему:

"Векторная алгебра"

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

Суммой a + b векторов a и b называют вектор, проведенный из начала a к концу b, если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:

a + b = b + a (коммутативной)

(а + b) с = а (b + с) (ассоциативность)

a 0 = a (наличие нулевого элемента)

a + (-a) = 0 (наличие противоположного элемента)

где 0 - нулевой вектор,-a есть вектор, противоположный вектору а. Разницей ab векторов a и b называют вектор x такой, что x + b = a.

Произведением x вектора а на число в случае 0, а о называют вектор, модуль которого равен | | | a | и который направлен в ту же сторону, что и вектор a, если> 0, и в противоположную, если < 0. Если = 0 или (и) a = 0, то a = 0. Операция умножения вектора на число обладает свойствами:

( (a + b) = ( a + ( b (дистрибутивность относительно сложения векторов)

((+ u) a = ( a + u a (дистрибутивность относительно сложения чисел)

(u a) = ( u) a (ассоциативнисть)

1 a = a (умножение на единицу)

Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство).

В Векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, ..., с называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа,, ..., из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:

a + b + ... c = 0. (1)

Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ..., c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a, b, .., с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа,, ..., равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.

Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e1, e2, e3 трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы:

a = a1e1 + a2e2 + a3e3.

Числа a1, a2, a3 называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a = {a1, a2, a3}.

Два вектора a = {a1, a2, a3} и b = {b1, b2, b3} равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a = {a1, a2, a3} и b = {b1, b2, b3}, b0, является пропорциональность их соответствующих координат: a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a = {a1, a2, a3}, b = {b1, b2, b3} и c = {c1, c2, c3} является равенство:

| a1 a2 a3 |

| b1 b2 b3 | = 0

| c1 c2 c3 |

Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов a = {a1, a2, a3} и b = {b1, b2, b3} равны суммам соответствующих координат: a + b = {a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3}. Координаты произведения вектора а на число равны произведениям координат а на

а = {а1, a2, a3}.

Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла между ними:

(а, b) = | а | | b | cos.

По принимается угол между векторами, не превосходящему. Если а = 0 или b = 0, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами:

(a, b) = (b, а) (коммутативнисть)

(a, b + с) = (a, b) + (а, с) (дистрибутивность относительно сложения векторов),

(a, b) = (a, b) = (a, 6) (сочетательнисть относительно умножения на число),

(a, b) = 0, лишь если а = 0 или (и) b = 0 или ab.

Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т.е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) i, j, k (ортонормированном базис). Скалярное произведение векторов:

a = {a1, a2, a3} и b = {b1, b2, b3}

заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:

(a, b) = a1b1 + a2b2 + a3b3

Косинус угла между ненулевыми векторами a = {a1, a2, a3} и b = {b1, b2, b3}

может быть вычислен по формуле:

где и

Косинусы углов вектора a = {a1, a2, a3} с векторами базиса i, j, k называют. направляющими косинусами вектора а:

,,.

Направляющие косинусы обладают следующим свойством:

cos2 + cos2 + cos2 = 1

Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Ин. е а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е. Проекции обладают свойствами:

Ин. е (a + b) = Пр. е a + Пр. е b (аддитивность)

Ин. е a = Пр. е a (однородность).

Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.

В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a, b, c - левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки (см. рис).

Загрузка...

Страницы: 1 2 3