Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск
Вхід в абонемент


Интернет реклама УБС






Знакопеременные и знакопостийни ряды. Абсолютная и условная сходимость.

План.

Определение закономерного ряда.

Теорема Коши.

Абсолютная и условная сходимость.

Л-ра: Методические указания к изучению темы "Ряды". Составители: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подильчук. КДТЕУ. К, 1992 г. в. 16-19.

Теорема. Если в ряду с положительными членами общий член, начиная с определенного значения п, удовлетворяет неравенство где q - постоянное число, меньше единицы, то ряд сходится.

Когда же наоборот, начиная с определенного значения п, имеем то ряд расходится.

Доказательство. В первом случае мы имеем, начиная с определенного значения п,

Итак, сходимость ряда и здесь непосредственно устанавливается сравнением с убывающей геометрической прогрессией, знаменатель которой q. Стоит заметить, что неравенство

характеризует при этом "скорость" совпадений данного ряда по сравнению с геометрической прогрессией.

Во втором случае будем иметь с определенного момента, значит, ряд наверное, разбегается, потому что даже основная необходимое условие сходимости не выполняется.

Следствие. Если существует, то при r < 1 ряд наверное совпадает. Случай r = 1 и здесь вообще сомнительный.

Доказательство.

Взяв u здесь какое-то число q, промежуточное между r и 1 (), мы с определенного момента иметь - в первом случае:

Итак, ряж совпадает; а во втором: следовательно, ряд расходится.

Часто вопрос о сходимости ряда, что члены как положительные, так и отрицательные, можно свести к вопросу о сходимости знакододатного ряда. Рассмотрим следующую теорему.

Теорема. Ряды наверное совпадает, если совпадает ряд

Доказательство. Для каждого можно найти такое, при котором для и при будет:

Но тогда тем более

Но это и доказывает теорему.

Определение. Сходящийся ряд называется абсолютно сходящимся. Если совпадает также и ряд

Рассмотрим, например, ряд

(1)

Он ни знакододатний, ни знакопеременное. Ряд

(2)

является знакододатний. Сравнивая его с рядом

(3)

имеем

Ряд (3) сходится, как ряд Дирихле-Римана при, следовательно, сходится есть ряд (2). Тогда за доказанной теоремой и по определению ряд (1) абсолютно сходится.

Поскольку ряд, члены которого - абсолютные значения членов любого ряда является знако-положительный, то, очевидно, чтобы исследовать, любой ряд абсолютно сходится, мы можем использовать признаки сходимости, выведены для знакододатних рядов, заменив в соответствующих выражениях члены данного ряда их абсолютными значениями. Так, признак Даламбера сходимости ряда запишется тогда в виде признак Коши - в виде: и т.п.

Определение. Если ряд (*) сходится, а ряд расходится, то данный ряд (*) называется условно сходящимся.

Итак, ряд

условно сходящийся

Так же ряд

условно сходящийся, ибо ряд

есть ряд Дирихле-Римана, в котором

Знакочергуючи ряды. Признак Лейбница.

План.

Определение знакочергуючого ряда.

Признак Лейбница.

Оценка остатка знакочергуючого ряда, сходящегося по признаку Лейбница.

Л-ра: Методические указания к изучению темы "Ряды". Составители: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подильчук. КДТЕУ. К, 1992 г. в. 16-19.

Определение. Знакопеременными рядами называются ряды вида:

где - положительные числа.

Теорема Лейбница. Если в знакопеременной ряде абсолютное значение общего члена монотонно стремится к нулю (т.е. к тому же), тогда знакопеременное ряд сходится, причем сумма его имеет числовое значение, промежуточное между нулем и первым членом

Доказательство. Рассмотрим сначала частную сумму четного порядка, причем запишем ее в двух разных видах:

1.

Замечаем, что чем больше К, тем больше пар, но каждая пара положительная, следовательно, монотонно возрастает при увеличении К.

С другой стороны

Видим, что < , Для всех значений k> 1. Итак, ограничена сверху.

Сопоставляя оба факта, приходим к выводу, что величина монотонная и вместе с тем ограничена переменная, том она, стремится к определенной конечной границы, причем эта граница, очевидно, больше а1 - а2 и не превышает а1

а1 - а2 < < а1.

Итак, наверное 0 < < а1.

Рассматривая уже теперь частную сумму нечетного порядка +1, имеем:

= + А2К +1.

Итак,

Окончательно приходим к выводу, что существует единая граница:

(0

когда индекс n - любое натуральное число как парное, так и нечетное, что доказывает теорему.

Следствие. По условию теоремы Лейбница окончательная S - Sn = rn меньше по абсолютному значению, чем абсолютное значение первого из отброшенных членов:

, и имеет знак этого члена.

Доказательство. Имеем:

Ряд в последних скобках сам по себе является знакопеременный и удовлетворяет теорему Лейбница, так

причем

Итак, если первый из отвергнутых членов нечетный, то представляет S с нехваткой. Погрешность имеет знак плюс. Если же первый отброшен член - парный, то, представляет S с избытком. Погрешность имеет знак минус. В обоих случаях, как видим, погрешность имеет знак первого отвергнутого члена и меньше по абсолютному значению, чем абсолютное значение первого из отброшенных членов.

Дифференцирование и интегрирование

степенных рядов.

План.

1. Нахождение сумм степенных рядов используя Почленное дифференцирование и интегрирование.

Л-ра: Методические указания к изучению темы "Ряды." Составители: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д. Подильчук. КДТЕУ.К., 1992 г. в. 22-23.

Дифференцирование степенных рядов.

Теорема. Если степенной ряд

(1)

имеет интеграл сходимости (-р, р), то ряд

, (2)

образован по членным дифференцированием ряда (1), имеет тот же интервал сходимости (-р, р) и его суммой в этом интервале есть функция.

Доказательство. Покажем раньше, что когда ряд (1) совпадает при определенном значении, то на каждом сегменте, где, ряд (2) сходится абсолютно и равномерно.

Для этого, достаточно обнаружить сходимость ряда

(3)

что играть роль мажоруючого ряда.

Обозначая, где, и принимая во внимание, что, имеем

где. Применим к ряду

(4)

признак Даламбера:

.

Итак, ряд (4) сходится, а потому сходится есть ряд (3). Отсюда, следует, что ряд (2) сходится абсолютно при каждом значении х интервала (-р, р), то есть интервала сходимости ряда (1). Если обозначить, радиус сходимости ряда (2) через р ', то мы доказали, что гг ".

Докажем теперь, что р ' не может быть ц больше по г.

Действительно, во всяком точке х, в которой полностью соответствует ряд (2), совпадает также и ряд

а так, то данный степенной ряд (1) сходится абсолютно в


Страницы: 1 2