Реферат на тему:


Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск






Загрузка...

Введение

Многие задачи геометрического содержания типичны задачами на экстремум. В этих задачах при выполнении определенных условий надо найти наибольшее или наименьшее значение определенной геометрической величины (периметра, площади, объема). Каждой из этих величин можно поставить в соответствие определенную формулу (иногда не одну), которая выражает искомую величину как функцию других величин. Однако сама функция в готовом виде не дается. Ее надо определить из условий задачи. Часто по условиям задачи можно построить функцию не одной переменной, а двух. Тогда, применив известные геометрические теоремы, одну из этих переменных исключают.

Есть немало элементарных, достаточно простых и наглядных, иногда искусственных, способов решения задачи на экстремум, учитывающих ее особенность. Однако мощный аппарат дифференциального решения дает общий способ решения задачи на экстремум. Решая задачи этим методом, будем придерживаться такой последовательности действий:

выбор независимой переменной и определения множества ее значений построение функции, описывающей ту геометрическую величину, оптимальное значение которой нужно найти в задаче отыскания критических точек этой функции и рассмотрение тех, которые принадлежат области определения функции выяснения характера экстремума функции в этих точках вычисления значений функции в этих точках и на концах отрезка, является областью ее определения, и выбор наибольшего или наименьшего из них.

Если непрерывная функция дифференцирована в интервале и имеет единственный экстремум. То в случае максимума это будет ее наибольшее значение, а в случае минимума - меньше.

§ 1. Задачи на экстремум в планиметрии

Рассмотрим ряд геометрических задач, решение которых сводится к отысканию экстремума определенных функций.

Задача 1 Из всех прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой С найти тот, у которого самая большая площадь.

Решение Если х и у - катеты треугольника, то и площадь треугольника

Поскольку площадь - неотъемлемая величина, поэтому областью определения функции S (x) является отрезок [0; С]. Функция S (x) принимает наибольшее значение одновременно с функцией f (x) = c2x2-x4. Поскольку

f /(x) = 2x (c2-2x2)

может решив уравнение

найдем критические точки:

х2 = 0, х3 =

Содержания задачи соответствует лишь одна из этих точек:. Из выражения производной видно, что при х

Загрузка...

Страницы: 1 2 3 4