Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск
Вхід в абонемент


Интернет реклама УБС






Введение

Многие задачи геометрического содержания типичны задачами на экстремум. В этих задачах при выполнении определенных условий надо найти наибольшее или наименьшее значение определенной геометрической величины (периметра, площади, объема). Каждой из этих величин можно поставить в соответствие определенную формулу (иногда не одну), которая выражает искомую величину как функцию других величин. Однако сама функция в готовом виде не дается. Ее надо определить из условий задачи. Часто по условиям задачи можно построить функцию не одной переменной, а двух. Тогда, применив известные геометрические теоремы, одну из этих переменных исключают.

Есть немало элементарных, достаточно простых и наглядных, иногда искусственных, способов решения задачи на экстремум, учитывающих ее особенность. Однако мощный аппарат дифференциального решения дает общий способ решения задачи на экстремум. Решая задачи этим методом, будем придерживаться такой последовательности действий:

  1. выбор независимой переменной и определения множества ее значений
  2. построение функции, описывающей ту геометрическую величину, оптимальное значение которой нужно найти в задаче
  3. отыскания критических точек этой функции и рассмотрение тех, которые принадлежат области определения функции
  4. выяснения характера экстремума функции в этих точках
  5. вычисления значений функции в этих точках и на концах отрезка, является областью ее определения, и выбор наибольшего или наименьшего из них.

Если непрерывная функция дифференцирована в интервале и имеет единственный экстремум. То в случае максимума это будет ее наибольшее значение, а в случае минимума - меньше.

§ 1. Задачи на экстремум в планиметрии

Рассмотрим ряд геометрических задач, решение которых сводится к отысканию экстремума определенных функций.

Задача 1 Из всех прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой С найти тот, у которого самая большая площадь.

Решение Если х и у - катеты треугольника, то и площадь треугольника

Поскольку площадь - неотъемлемая величина, поэтому областью определения функции S (x) является отрезок [0; С]. Функция S (x) принимает наибольшее значение одновременно с функцией f (x) = c2x2-x4. Поскольку

f /(x) = 2x (c2-2x2)

может решив уравнение

найдем критические точки:

х2 = 0, х3 =

Содержания задачи соответствует лишь одна из этих точек:. Из выражения производной видно, что при х <при х < . А это значит, что является точкой максимума функции f (x), а следовательно, и функции S (x), причем S. Кроме того, S (o) = S (c) = 0, поэтому S (х) в точке приобретает наибольшего значения. Но при х = также и второй катет в =, а это означает, что треугольник равнобедренный. Итак, из всех прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой равнобедренный имеет наибольшую площадь.

Замечания. Решение этой задачи достаточно легко найти геометрическим способом. Поскольку вершины прямоугольных треугольников с гипотенузой длины с лежат на окружности, диаметром которого эта гипотенуза, то наибольшую площадь будет прямоугольный треугольник, у которого наибольшая высота. Такой высотой является перпендикуляр к середине гипотенузы, длина которого равна половине гипотенузы.

Задача 2. Из всех прямоугольных треугольников с заданной высотой h найти то, что имеет наименьшую площадь.

Решение.

Пусть АВС - прямоугольный,

Поскольку f /(x) = -

(по условию задачи х0 и х =, т.е. sin x0 i cos 0), то для определения критических точек функции получаем совокупность уравнений:

sin x = cos x, sin x = - cos x

Отсюда имеем:

В интервале (0,) лежит только одна точка:, которой соответствует 0, если х есть (;), то х = - единственная точка минимума функций f (x) i S (x ). Поэтому в точке х = функции f (x) i S (x) приобретают малейшего значения. Итак, из всех прямоугольных треугольников с заданной высотой равнобедренный имеет наименьшую площадь.

Замечания. В только что приведенном решении за надлежащую переменную взято величину одного из прилегающих к гипотенузе углов. Можно дать другое решение, взяв за надлежащую переменную длину проекции одного из катетов на гипотенузу. Пусть, например, | AD | = x, тогда | DB | = | AB | - x. Поскольку h2 = x (| AB |-x), то | AB | = x +. Тогда площадь треугольника как функция от х примет вид:

.

Поскольку

то критическими точками функции S (x) являются: x1 = h, x2 =-h. Условие задачи удовлетворяет только одна точка: h. Но при х = h гипотенуза треугольника АВС имеет длину 2h, а это и означает, что треугольник равнобедренный. Легко убедиться, что его площадь является наименьшей.

Задача 3. Из всех треугольников с заданной площадью S и заданной основой С найти то, что имеет наименьший периметр.

Решение.

Пусть АВС | AB | = C i CD - его высота, тогда. Поскольку площадь и основа треугольника одновременно определяют высоту треугольника, то обозначать в дальнейшем | CD | = h. Если обозначать | AD | = x 0

что:

то решения уравнения

= 0

найдем критическую точку функции P (x):. Тогда и | BD | = а значит АВС - равнобедренный, его периметр. Легко убедиться, что х = - единственная точка минимума на (0, С), так Р /(х) <0, если х есть (0;) и Р /(х)> 0, если х есть (, 0). Поэтому в точке х = функция Р (х) принимает наименьшее значение. Итак, из всех треугольников с заданными площади и основой равнобедренный имеет наименьший периметр.

Задача 4. Из всех треугольников с заданным основанием С и углом при вершине найти имеющий наибольшую биссектрису.

Решение.

Пусть в АВС | АВ | = С, а


Страницы: 1 2 3 4