Реферат на тему:


Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск






Загрузка...

Реферат на тему:

Дифференциальные уравнения высших порядков

1 Основные понятия и определения

Дифференциальное уравнение n-го порядка не решены относительно производной имеет вид:

F (x, y, y `, ..., y (n-1)) (1)

А разрешено относительно y (n) имеет форму

y (n) = f (x, y, y `, ..., y (n-1)) (2)

O.1 Функция y = y (x) определена и n раз непрерывно дифференцируема на (a, b), называется решением дифференциального уравнения (1), если она на (a, b) превращает в тождество:

(3)

Любому решения дифференциального уравнения (1) соответствует на плоскости (x, y) некоторая кривая, которую будем называть интегральной.

2 Динамическая интерпретация дифференциального уравнения второго порядка. Консервативные системы.

Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение (4) и представим себе уравнение (5) как уравнение движения частицы с единичной массой при действии силы рис. 1).

Значение x и в момент t характеризуют состояние системы на плоскости (x,) (рис. 1). Эта плоскость называется плоскостью состояния или фазовой плоскостью. Каждому новому состоянию соответствует новая точка на плоскости. Траектория изображающие точки назавають фазовой траектории, скорость - фазовой скоростью.

От дифференциального уравнения (5) можно перейти к системе

(6)

Можно показать, что система (5), как и более общая, (7) где, - непрерывные функции вместе со своими частными производными в некоторой области D, имеют то свойство, что, если x (t), y ( t) - решения системы, то и x = x (t + c), y = y (x + c), где с - произвольная константа, тоже является решением.

Система (7) называется автономной или стационарной.

Если система (7) задана на всей плоскости, то фазовые траектории покроют всю плоскость и не будут пересекаться друг с другом. Если в некоторой точке (x0, y0), то такая точка назы вает особой. В пожальшому будем рассматривать только изолированные точки, то есть такие, в некотором малом окрестности которых нет других особых точек.

В реальных динамических системах энергия рассеивается. Роз сиювання (дисинация) энергии проходят в связи с наличием трения. В некоторых системах проходит медленное рассеивание энергии и им можно пренебречь. Для таких систем имеет место закон сохранения энергии: сумма кинетической и потенциальной енргии постоянная. Такие системы называют консервативными.

Рассмотрим консервативную систему:

(8)

От (4.8) перейдем к следующей системе:

(9)

Выключаем в (9) t:

, mydy =-f (x) dx (10)

Предположим, что при t = t0: x (t0) = x0, y (t0) = y0 и проинтегрируем (4.10) от t0 до t:

(11)

Откуда (12)

Так как есть кинетическая энергия, а V (x) =-потенциальная, E = + V (x0) - новая энергия, то (12) выражает закон сохранения энергии.

+ V (x) = E (13)

Соотношение (13) задают интегральные кривые на плоскости. Они будут различны и зависят от E.

Мы дали механическую интерпретацию дифференциальных ривняннянь второго порядка. Останавливаемся на геометричной.

Рассмотрим f (x, y, y `, y ``) = 0 и перепишем его в виде (14)

F (x, y, y `(1 +) 3/2) = F (x, y, y`,) = 0 (15)

Поскольку (1 +) 3/2 - кривизна кривой, то дифференциальное уравнение второго порядка представляет собой связь между координатами, углом наклона касательной и кривости в каждой точке интегральной кривых.

2 Задача Коши, единственность решения задачи Коши.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (2) и поставим задачу Коши: среди всех решений дифференциального уравнения (2) найти такой y = y (x), удовлетворяющего условиям

y (x0) = y0, y `(x0) = y0, ..., y (n-1) (x0) = y0n-1, где x0, y0, y-01 y-02 ..., y0n -1-заданные числа (15)

x0 - начальное значение независимой переменной,

y0, y01, ... y0n-1-исходные данные.

Для дифференциального уравнения второго порядка

(17)

задача Коши заключается в том, чтобы найти такое решение дифференциального уравнения (17), который бы удовлетворял условиям:

,. (18)

Геометрически задача заключается в том, чтобы найти такую кривую y = y (x), которая удовлетворяет дифференциальное уравнение (18), проходит через точку M (x0, y0) и имеет заданное направление касательной. (рис 2)

Механический смысл задачи Коши.

, (19)

Зайти ту траекторию механической системы, которая представляется дифференциальным уравнением (19), и имеет в t0 фиксированное положение x0 и скорость V0.

Рассмотрим вопрос единственности и существования решения задачи Коши (2) (16). Единственность для дифференциального уравнения (2) не означает, что через т.м (x0, y0) проходит только одна интегральная кривая. Например, для дифференциального уравнения (17) единственность понимается в том смысле, что через т.м (x0, y0) проходит единственная интегральная кривая (рис 2) с заданным наклоном касательной, а через точку М (x0, y0) могут проходить и другие интегральные кривые, которые имеют другие наклонности касательной.

Теорема о достаточных условиях существования и единственности решения задачи Коши (теорема Пикара)

Необходимые условия существования решения задачи Коши (2), (16) - правая часть (2) непрерывна в окрестности начальных данных по всем аргументам.

Теорема. Рассмотрим задачу Коши (2) (16) Предположим, что функция f (x, y, y `, ..., y (n-1)) определяет в некоторой замкнутой ограниченной области

R,,, ..., (20)

(a, b-положительные действительные числа) и удовлетворяет в этой области условиям:

Функция f (x, y, y `, ..., y (n-1)) является непрерывной по своему аргументам, а следовательно ограниченной

(21)

(здесь M> 0-константа)

2) Функция f (x, y, y `, ..., y (n-1)) имеет ограниченные частные производные по переменным Функция y, y`, ..., y (n-1), то есть, l = 0 , 1,2, ..., (n-1), (y, y `, ..., y (n-1)), (22)

где K - константа.

При этих предположениях дифференциальное уравнение (2) имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям (16) и является непрерывным вместе со всеми своими производными до n-го порядка включительно на интервале (23)

Из теоремы следует, что для полиномиальной правой части дифференциального уравнения (2) решение задачи Коши с произвольным начальным условиям существует и является единственным.

3 Общее решение и общий интеграл. Частное и особый развязки. Промежуточные и первые интегралы.

Общим решением дифференциального уравнения назовем семейство розвьзкив, которое зависит от n произвольных констант c1, ..., cn

y = y (x,

Загрузка...

Страницы: 1 2