Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск
Вхід в абонемент


Интернет реклама УБС






Графики функций, содержащих абсолютные величины.

Предлагаю материал для учащихся 10-11-х классов, который касается построения графиков функций, содержащих абсолютные величины.

Эта тема почти не освещена в школьных

учебниках, но задача такого типа часто встречаются на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Начиная с XVIII в., одним из основных понятий математики является понятие функции. Идею функциональной зависимости использовано уже в первых соотношениях между математическими величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площадей и объемов различных фигур.

Обращение к функциональной зависимости между величинами берет начало в XVII в. в связи с проникновением в математику переменных. В работах Р.де-карты П.Ферма, И. Ньютона и Лейбница понятие функции имеет интуитивный характер. Четкого определения функции в XVII в. еще не было. Основа для первого определения функции создал Р. Декарт, который в своих трудах систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно записать с помощью уравнений. Постепенно понятие функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения - формулы.

Термин «функция» Лейбниц впервые ввел 1673, а выражение «функция от x» использовали как Лейбниц, так и Й.Бернулли. Начиная с 1698 г. Лейбниц ввел также термины «переменная» и «константа».

Определение функции впервые дано в 1718 г. одним из учеников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Й.Бернулли. Впоследствии Л. Эйлера дал более общее определение функции.

Решению споры между Л. Эйлера, Ж.Д 'Алам-бером, Д. Бернулли и другими учеными XVIII в. по поводу того, что следует понимать под функцией, спо-объявлений французский математик Ж.Фур 'есть (1768-1830). Он записал первые примеры функций, которые заданы на разных промежутках различными аналитическими выражениями. По труду Ж.Фур 'является следовало, что любая кривая может быть записана в виде единого аналитического выражения-зу, а также существуют кривые, записанные аналитическим вы-вместе, которые имеют разрывы.

В своем «Курсе анализа», опубликованном в 1821 p., французский математик О.Коши обосновал выс-новки Ж.Фур 'есть. Таким образом, стало ясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которых трудно и даже невозможно ограничения-житься одним лишь аналитическим аппаратом. Следовательно, нужно расширить понятие функции.

В 1834 г. М.Лобачевский, развивая ейлереве определения функции, писал: «Общее понятие вы-мага, чтобы функцией от х называлось число, задается для каждого х и вместе с ним постепенно меняется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, что дает воз-можность перебрать все числа и выбрать один из них, или зависимости, которая может существовать и оставаться неизвестной ... »

Из опыта преподавания математики известно, что при изучении функций и построения их графиков, если надо оперировать выражениями, содержащими абсолютные величины, и исследовать их, ученики делают оши-ки. Предлагаю подборку упражнений для формирования у учащихся соответствующих умений и навыков по этой теме и развития у них творческого математического мышления, а также интереса к математике.

1. Построить график функции

Решение

, где п - произвольное целое число.

Функция определена для всех значений х, кроме

Запишем эту функцию в виде:

График функции изображен на рисунке.

2. Построить график функции

Решение

Функция определена для всех значений х, кроме

, где п - произвольное целое число.

Запишем функцию в виде:

График функции изображен на рисунке.

3. Построить график функции

Решение

Очевидно, что

График функции изображен на рисунке.

4. Построить график функции

Решение

Поскольку функция определена только для х = 0, то у = 1.

Поэтому графиком функции будет точка (0, 1).

5. Построить график функции

Решение

Учитывая область определения функции

, запишем ее в виде: у = х -1. График функции изображен на рисунке.

6. Построить график функции

Решение

Функция определена для всех х, кроме

где п - произвольное целое число. Тогда имеем:

График функции

График функции изображен на рисунке.

показано на рисунке.

7. Построить график функции

Решение

Функция определена для всех х, кроме х = 0. Запишем функцию в виде:

График функции построено на рисунке.

8. Построить график функции

Решение

запишем ее в виде:

Учитывая область определения функции

График функции изображен на рисунке.

9. Построить график функции

, где

Решение-

произвольное целое число.

Функция определена для всех х, кроме

После преобразований имеем:

График функции изображен на рисунке.

Построить график функции

Решение

Преобразуем данную функцию

, где

Функция определена для всех, кроме произвольное целое число.

График функции изображен на рисунке.

12. Построить график функции

Решение

Функция определена для всех х, кроме - произвольное целое число. Итак, имеем:

График функции изображен на рисунке.

13. Построить график функции

Решение

Преобразуем сначала показатель степени:

если

если

если

Итак, функция имеет вид:

График функции изображен на рисунке.

14. Построить график функции

Решение

функция определена для всех х, кроме х = 0. Использовав основную логарифмическую тождество, получим:

График функции изображен на рисунке.

Упражнения

Построить графики функций:

Литература

Шваецький М.Г. Абсолютные величины в школьном курсе математики. - М.: Сов. шк., 1967.

Рудник А.Е., Клюева ЛА., Мосолова М.С. Сборник по-дач по элементарной математике. - М.: Наука, 1974.

Горделадзе Ш.Г., Кухарчук М., Яремчук Ф.П. Сборник конкурсных задач по математике. - М.: Высшая школа., 1988.

Сборник конкурсных задач по математике для поступаю-щих во вузы Учебн. пособие /Под ред. М.И.Сканавы. - М.: Высш. шк., 1980.