Реферат на тему:


Воспользуйтесь поиском к примеру Реферат        Грубый поиск Точный поиск






Загрузка...
АЛГЕБРА Алгебра

1.Основные уравнения прямой и плоскости в пространстве.

А) Общее уравнение плоскости в пространстве.

Пусть задана плоскость П. Фиксируем прямоуг. Декарт. систему координат. Любой ненулевой вектор наз. Нормальном вектором. Площадей-я однозначно визначена нормальным вектором и некоторой точкой этой площадей-ны. Пусть n = (a, b, c), Ax0, y0, z0symbol 125 \ f "Symbol" \ s 8. Найдем уровне задающие эту пл-на.

Возьмем произвольную Вx, y, zsymbol 125 \ f "Symbol" \ s 8

AB = (x-x0, y-y0, z-z0). Ясно, что ВеП (n, AB) = 0a (x-x0) +

b (y-y0) + c (z-z0) = 0. Уравнение плоскости с зад. Норм. Вектором:

ax + by + cz + (-ax0 + by0-cz0) = 0

(-ax0 + by0-cz0) d

Таким чином, каждая плоскость в пространстве зад. Таким уравнением третьего порядка и среди коэффициентов при неизвестных обовьязкого есть отличные от 0.

В) Уравнение плоскости что проходной. Через 3 заданные точки.

Пусть Аx0, y0, z0symbol 125 \ f "Symbol" \ s 8, Bx1, y1, z1symbol 125 \ f "Symbol" \ s 8, Cx2, y2, z2symbol 125 \ f "Symbol" \ s 8 точки пл -ны не лежащие на одной прямой. Возьмем произвольную Д (x, y, z) и введем векторе

АВ = (x1-x0, y1-y0, z1-z0)

AC = (x2-x0, y2-y0, z2-z0)

AD = (x-x0, y-y0, z-z0)

Заметим, что Д Е Плоскости ПАВ, АС,

АД - компланарнивизначн. 3-го порядка = 0.

x1-x0 y1-y0 z1-z0

x2-x0 y2-y0 z2-z0 = 0

x-x0 y-y0 z-z0

В) Нормальное уравнение плоскости в пространстве

Обозначим через n вектор один.

Длины, приложенный к началу координат, до пл-ны П и направлен в сторону пл-ны. Если Пл-на проходной. Через нач. Коорд, то можно взять любой вектор одиночной длины

ОР Р, ОА = (x, y, z)

A Есть ПпрnОА = Р (n, ОА) = Р. Обозначим углы которые утв. n с коорд. Осями n = (cos, cos, cos). Тогда нормальное уравнение плоскости в пространстве xcos + ycos + z cos - P = 0.

А) Основные уравнения прямой в пространстве.

Прямая как пересечение плоскостей.

Пусть в пространстве задана прямая L.

Фиксируем две плоскости проходящих П2

через эту прямую.

В1: В2: a2x + b2y + c2z + d2 = 0

Тогда т-ка Мx, y, zsymbol 125 \ f "Symbol" \ s 8 Есть L когда ии коорд. Задов. Системе лин. Уравнений.

Система 2 лин. Уравнений наз. Общим уравнением прямой в пространстве.

В) Векторное уравнение прямой.

Пусть прямая L. Произвольное ненулевой вектор m (a, b, c) что парал. L наз. Направляющим вектором этой прямой. Зафиксируем М0x0, y0, z0symbol 125 \ f "Symbol" \ s 8.

Пл-на задана точкой и прямой.

Возьмем на пл-ни движущаяся

т-ку Мx, y, zsymbol 125 \ f "Symbol" \ s 8.М Есть LМ0М

параллеленm t, что

М0М = t m.

Для произвольного действительного t точка М, удовлетворяющее этому уравнению принадлежать прямой L. М0М = tm - Векторное уравнение прямой.

Перепишем векторное уравнение в коорд.

М0М = (x-x0, y-y0, z-z0)

x-x0 = ta, y-y0 = tb, z-z0 = tc

Система из 3-х уровн. Наз. Параметрическое уравнение прямой.

Исключим параметр t и получим

(x-x0) /a = (y-y0) /b = (z-z0) /c - это каноническое уравнение прямой.

2. Критерий совместимости системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему n-линейных уравнений с n неизвестными.

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2

............................................... ..

an1 x1 + a22 x2 + ... + ann xn = bn

Система наз. Совместной, если она имеет по крайней мере 1 решение. Совместная система наз. Определению, если она имеет единственное решение.

Отметить. Через - определитель, состав. с коеф. При сеть. и назовем главным определителем системы.

a11 a12 ... a1n

= a21 a22 ... a2n

.......................

an1 an2 ... ann

Кроме главного-введем еще n вспомогательных определителей. 1-й из них 1, получен заменой 1 столб. Доступности. на столбец свободных членов, 2 - 2 - зам. 2 ст. и т.д.

a11 a12 ... a1i-1 b1 ... a1n

i = a21 a22 ... a2i-1 b2 ... a2n

....................................

an1 an2 ... ani-1 bn ... ann

Теорема Крамера (кол Уравнений = квльк. Невод)

Если гол. Доступности. Квадр. Системы лин. Уравнений, отм. От 0, то система, определена и ии единственное решение дают формулы Крамера:

x1 = 1 /, x2 = 2 /... xn = n /.

3.Линийна зависимость и ранг системы векторов, методы вычисления рангов.

Любую конечную последовательность а1, а2 ... аm назовем системой векторов в системе векторы могут повторяться.

1a1, 2a2 ... mam-линейная комбинация системы векторов с коеф. 1,2 ... m.

Если 1 = ... m = 0 тогда линейная комби. = 0. Такая комбинация тривиальна. Итак лин. Комб. Нетривиальна, если среди коефициентив есть по крайней мере 1 склонений. От 0. С-ма векторов a1, a1 ... am наз лин завис если существует нетрив лин комбин векторов что = 0. Итак система a1, a1 ... am лин незав по означ если только длит лин комбин = 0. С-ма векторов a1, a1 ... am лин незав если из того, что лин комб = 0 что она длит.

А) Критерий линейной зависимости.

С-ма векторов a1, a1 ... am лин зал тогда и только тогда, когда по крайней мере 1 из векторов этой с-мы лин вираж через другие.

Б) Если в лин зависимость с-мы дописать какой-то вектор, то с двумя оставь лин зависимость.

В) Если с лин незав с-мы выбросить какой-то вектор, то с двумя будет лин незав.

Понятие рангуё

4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ конечно-мерном пространстве И ИХ МАТРИЦЫ.

L cкинченно-мерный линейное пространство, K - поле скаляров.

Оператор A: LL назыв линейным, если для любого x, yL,, K А

Загрузка...

Страницы: 1 2 3 4